第3章 数系的扩充与复数的引入章末复习学案

章末复习 学习目标　1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算且认识复数加减法的几何意义． 1．复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＋d＝0(a，b，c，d∈R)． (4)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．在复平面内x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (5)复数的模 向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 4．共轭复数的性质 (1)z·∈R. (2)＝z. (3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z＝，则z是实数． (4)共轭复数对应的点关于实轴对称． 1．复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　) 2．原点是实轴与虚轴的交点．(　√　) 3．方程x2＋x＋1＝0没有解．(　×　) 类型一　复数的概念 例1　已知复数z＝a2－a－6＋i(a∈R)，分别求出满足下列条件的实数a的值： (1)z是实数；(2)z是虚数；(3)z是0. 解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3. 由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 由a2－4≠0，解得a≠±2. (1)由a2＋2a－15＝0且a2－4≠0， 得a＝－5或a＝3， ∴当a＝－5或a＝3时，z为实数． (2)由a2＋2a－15≠0且a2－4≠0， 得a≠－5且a≠3且a≠±2， ∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数． (3)由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0， 且a2－4≠0，得a＝3， ∴当a＝3时，z＝0. 引申探究　 本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由． 解　由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0， 得a无解， ∴不存在实数a，使z为纯虚数． 反思与感悟　(1)正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提． (2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 跟踪训练1　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数． 解　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以解得x>且x≠4. 所以当x>且x≠4时，z为虚数． 类型二　复数的四则运算 例2　(1)计算：＋2012＋； (2)已知z＝1＋i，求的模． 解　(1)原式＝＋1006＋ ＝i＋(－i)1006＋0＝－1＋i. (2)＝＝＝1－i， ∴的模为. 反思与感悟　(1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化． (2)虚数单位i的周期性 ①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N＋)． ②in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N＋)． 跟踪训练2　计算：(＋i)5＋4＋7. 解　(＋i)5＋4＋7 ＝－i·()5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋2＋i7 ＝16(－1＋i)－－i ＝－＋(16－1) ... ...