第二章 §5 A级 基础巩固 一、选择题 1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形 [解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角． 2．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的射影为( C ) A．2 B． C．2 D．4 [解析] a在b方向上的投影为|a|cos ?a，b?＝4×cos 30°＝2，故选C． 3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B． 4．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C ) A．2 B．4 C．6 D．12 [解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·b－6b2＝－72. ∴|a|2－|a||b|cos 60°－6|b|2＝－72. ∴|a|2－2|a|－24＝0.又∵|a|≥0，∴|a|＝6. 5．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于( C ) A．1 B．－4 C．－ D． [解析] a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos ＋2|e2|2 ＝－6×12＋1×1×＋2×12＝－. 6．若向量a与b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，则有( A ) A．c⊥a B．c⊥b C．c∥b D．c∥a [解析] ∵c·a＝(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 120°＝12＋1×2×cos 120°＝0，∴c⊥a. 二、填空题 7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝__1__. [解析] 考查了向量的数量积，垂直等问题． 由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0， 又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0， 若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾， ∴k－1＝0，k＝1. 8．已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____. [解析] 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，|e1－e2|＝ ＝ ＝＝2. 同理|e1＋λe2|＝. 所以cos 60°＝ ＝ ＝＝， 解得λ＝. 三、解答题 9．已知|a|＝2，|b|＝4. (1)当a⊥b时，求|a＋b|； (2)当a∥b时，求a·b； (3)若(a＋2b)与(3a－b)垂直，求向量a与b的夹角． [解析] (1)∵a⊥b，∴a·b＝0， ∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋16＝20， ∴|a＋b|＝2. (2)∵a∥b，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|＝8； 当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|＝－8. (3)由(a＋2b)与(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b－2b2＝0， ∴5a·b＝2b2－3a2， ∴a·b＝4. 设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 10．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝. 求：(1)a与b的夹角； (2)a－b与a＋b的夹角的余弦值． [解析] (1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝， 又|a|＝1，∴|b|2＝， ∴|b|＝. 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝， ∴θ＝45°. ∴a与b的夹角为45°. (2)|a－b|＝＝ ＝＝， |a＋b|＝＝ ＝＝， 设a－b与a＋b的夹角为α， 则cos α＝＝＝. B级 素养提升 一、选择题 1．已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( D ) A．－2 B．－2 C．－1 D．1－ [解析] 本题考查数量积的运算．设a＋b与c的夹角为θ，则(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2 ＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c ＝1－|a＋b|·|c|cos θ ＝1－·1·cos θ ∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值． 2．(2018·江西高安中学期末) ... ...
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