1.1.2 集合间的基本关系 疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、子集 1.子集的定义 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，子集是研究集合间的包含关系的，它仅仅与构成两个集合的元素有关. 记作：AB（或BA），读作“A包含于B”（或B包含A）. 辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系，符号“∈”用在元素与集合之间；集合与集合之间是包含或相等的关系，符号“”用在集合与集合之间. 2.子集的图形表示 在数学中，我们经常用平面上封闭的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用下图表示. 对于集合A、B、C，如果AB，BC，则AC. 任何一个集合A都是它自身的子集，即AA.若AB，则可用Venn图表示它们之间的关系. 即表示集合A、B的区域完全重合，或区域A在区域B的内部. 要点提示 注意此处空半格（1）集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性，即若a≤b，b≤c，则a≤c.（2）Venn图可以形象直观地表示集合间的关系，表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线等. 资料剖析 注意此处空半格(教材P8)思考 ［研析］{a}A表示的是集合与集合之间的关系，即集合{a}是集合A的子集，而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系，即a是集合A的元素，如{1}{1,2，3},而1∈{1,2，3}. 3.子集的语言表示 集合A中的任何一个元素x，都满足x∈B，即任意x∈A，都有x∈B.或 ABx∈A,x∈B. 例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，2，3}，因为A中所有的元素1∈B，2∈B，所以AB. 对于元素个数较少的有限集是如此，当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢？那只能根据给定集合的元素的性质去证明，若x∈A，则x∈B即可.特别地，当给定集合A、B的代表元素都是函数值时，要证明“AB”，只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如：已知集合A={y|y=x2+1，x∈R}，集合B={m|m=n2，n∈R}，则集合A与B存在怎样的包含关系呢？显然集合A、B的代表元素都是实数，结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1}，B={m|m≥0}，因为A中的所有元素都属于B，所以AB. 那么，如何证明集合A不是集合B的子集呢？如果集合A中存在元素不是集合B的元素，我们就说集合A不是集合B的子集，记作“AB”或“BA”，读作“A不包含于B”或“B不包含A”.例如：已知集合A={1，2}，集合B={1，3}，试判断A、B的包含关系.因为2∈A，且2B，所以AB；又因为3∈B，且3A，所以BA.由此可见，判断两个集合的“包含”与“不包含”关系，关键是看两个集合中元素的关系.你能据此写出常见数集N*、N、Z、Q、R之间的包含关系吗？ 方法点拨 注意此处空半格（1）判断A、B之间的包含关系，通常将集合A、B化成最简形式.（2）若证明AB，只需在A中找一个元素a，使得aB即可.也就是说，要否定一个问题，只需举一反例即可. 二、集合相等 1.集合相等的定义 如果集合A是集合B的子集（AB），且集合B是集合A的子集（BA），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，我们就说集合A与集合B相等，记作A=B. 集合“A=B”可用韦恩图表示为 即表示集合A、B的区域完全重合. 要点提示 注意此处空半格集合“A=B”是指集合A、B中的元素完全相同，与A、B中元素的排列顺序无关. 2.集合相等的证明 所谓“A=B”就是集合A、B中的元素完全一致.例如：试比较集合A={x｜x2-1=0}与集合B={-1，1}的关系.化简集合A={-1，1}，与集合B的元素完全一致，所以A=B；当集合A、B中的元素较多或无限多时，要证明“A=B”，只需根据集合中元素的性质证明AB，且BA即可. 辨析比较 注意此处空半格集合“A=B”可与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，即“若AB，且BA，则A=B”. 三、真子集 如 ... ...
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