高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大（小值）教材梳理素材新人教A版必修1

1.3.1 单调性与最大（小）值 疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、单调性 1.增函数和减函数 一般地，设函数f（x）的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数. 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数. 要点提示 注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的，显然DI. 对于给定定义域内的任意两个不同的自变量，当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时，即为增函数；符号相反时，即为减函数. 若函数y=f（x）在区间D上是增函数，反映到图象上，从左至右呈上升趋势，反之，呈下降趋势. 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间. 依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤： （1）取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1＜x2. （2）作差变形.求f（x2）-f（x1），通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形. （3）定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f（x2）-f（x1）的符号.当符号不确定时，可以进行分类讨论. （4）判断.根据单调性定义作出结论. 即取值———作差———变形———定号———判断. 函数f（x）在给定区间上的单调性，反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，即若证明f（x）在［a，b］上是递增的，就必须证明对于区间［a，b］上任意的两个自变量x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）成立，而不可以用两个特殊值来替换，但是要否定一个函数在某一区间上的单调性，只要举一个反例即可. 误区警示 注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征：一是同属一个单调区间；二是任意性，即“任意”取x1、x2，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；三是有大小，通常规定x1＜x2.三者缺一不可. 二、函数的最大（小）值 一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）； （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M，那么，我们称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值）. 对于一次函数可直接根据单调性写出最值. 求二次函数在给定区间上的最值，要注意分析它的开口方向和对称轴，如课本36页例3.一般地，若给定区间在对称轴的同侧，它是单调函数，可直接利用单调性求出最值；若对称轴在给定区间内，要注意它在对称轴处取得一个最值. 要点提示 注意此处空半格最值包括最大值和最小值.对于二次函数而言，若给定闭区间在对称轴的同侧，则最值在区间的两个端点处；若对称轴在给定的区间内，则在对称轴处取得一最值，在距对称轴较远的端点处取得另一最值. 求函数在某个闭区间的最值问题，可以先做出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值.另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解（证）不等式；还可以绘制某些函数的略图等等. 问题·思路·探究 问题 如果一个函数在两个区间上同增减,那么在这两个区间的并集是不是还符合原来的增减性? 思路:根据函数增减性的定义和并集的概念考虑,同时注意区间上的特殊点. 探究:对某一函数y=f(x)，它在区间(a,b)与(c,d)上都是单调增（减）函数，不能说y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是单调增（减）函数.比如说,函数y=在 (-∞,0),(0,+∞)内都是减函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)不能说是减函数,这是因为取个特例x1=1,x2=-1,可见y1=1,y2=-1,这时变 ... ...