1.3.2 奇偶性 疱丁巧解牛 知识·巧学·升华 一、函数奇偶性的定义 1.奇函数 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数. 例如：函数f（x）=x3，它的定义域为R，因f（x）=x3，f（-x）=（-x）3=-x3，所以f（-x）=-f（x），即对于定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x）.所以它是奇函数. 2.偶函数 一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数. 例如：函数f（x）=x2，它的定义域为R，因为f（-x）=（-x）2=x2=f（x），即对于定义域的任意一个x都有f（-x）=f（x），所以它是偶函数. 要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f（-x）与f（x）之间关系的，其中f（-x）是把f（x）解析式中的x换成“-x”而得到的. 因为x∈D，-x∈D，所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系. 函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类. 二、奇偶函数的图象特征 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 若f（x）为奇函数，（x，f（x））在图象上，则（-x，f（-x））即（-x，-f（x））也在f（x）的图象上. 2.偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 若f（x）为偶函数，（x，f（x））在图象上，则（-x，f（-x））即（-x，f（x））也在f（x）的图象上. 如果知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可推出函数在另一部分上的性质和图象. 我们不难发现，如果奇函数y=f（x）的定义域内有零，则由奇偶函数的定义知f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0）.∴f（0）=0. 误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y轴对称，指的是函数图象本身，而不是两个函数图象之间的关系. 奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数则相反. 问题·思路·探究 问题 定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数；定义域关于原点对称的一定是奇偶函数.这两句话对吗？ 思路：定义域关于原点对称，且满足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）的函数才是偶函数或奇函数.其中f（-x）=f（x）f（-x）-f（x）=0=1（f（x）≠0），f（-x）=-f（x）f（-x）+f（x）=0=-1（f（x）≠0）， 即可利用f（x）与f（-x）的变形形式去证明它的奇偶性. 探究：定义域不关于原点对称的函数一定不是奇偶函数，如函数f（x）=x4+1，x∈［-1，2］.由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x≤2时，-x没有定义，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f（x）=x4+1，x∈［-1，2］是非奇非偶函数. 定义域关于原点对称的函数也不一定是奇偶函数.如f（x）=x2+x，g（x）=x3+1，它们的定义域都是R，因为f（-x）=（-x）2+（-x）=x2-x≠f（x）≠-f（x），所以它是非奇非偶函数.同理可证g（x）=x3+1也是非奇非偶函数. 典题·热题·新题 例1 判断下列函数的奇偶性. （1）f（x）=x+； （2）f（x）=x2+； （3）f（x）=； （4）f（x）=； （5）f（x）= 思路解析：判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系. 解：（1）定义域为A={x｜x∈R，且x≠0}. ∵对定义域内的每一个x，都有f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x）， ∴f（x）=x+为奇函数. （2）定义域为A={x｜x∈R，且x≠0}. ∵对定义域内的每一个x，都有f（-x）=（-x）2+=x2+=f（x）， ∴函数f（x）=x2+为偶函数. （3）函数的定义域为A={x｜x＞0}，关于原点不对称， ∴函数f（x）=为非奇非偶函数. （4）由得x2=1.∴x=±1. ∴ ... ...
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