第1讲 平面向量 考点1 平面向量的概念与线性运算 1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化． 2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． [例1] (1)[2019·河北衡水中学摸底]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝( ) A.－ B.＋ C.－ D.＋ (2)[2019·四川绵阳联考]如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC.若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝( ) A．2 B．1 C．－2 D．3 【解析】 (1)＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－. (2)∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝－＋，∴m＝－，n＝，∴m－n＝－2.故选C. 【答案】 (1)C (2)C 1．平面向量的线性运算技巧 (1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． (2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b?存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断． 2．[警示] 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线. 『对接训练』 1．[2019·福建三明期末]在△ABC中，3＝，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ·μ＝( ) A．－ B．－ C. D. 解析： 如图，∵3＝，O为AD的中点，∴＝＝＋＝＋ ×＝＋(－)＝－＋＝λ＋μ，∴λ＝－，μ＝，∴λ·μ＝－.故选B. 答案：B 2．[2019·福建宁德五中期中]设O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( ) A. B．2 C．－2 D. 解析：解法一 ∵O为△ABC的重心，∴＝，又＝λ＋μ，∴＋＝0.∵与不共线，∴∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B. 解法二 设BC的中点为D，连接AD，∵O为△ABC的重心，∴＝，又＝λ＋μ，∴＝＋μ，∴＝－.∵B，D，C三点共线，且D为BC的中点，∴＝－＝，∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B. 解法三 连接OB，OC，∵＝λ＋μ，∴－＝－λ＋μ－μ，即(－1＋λ＋μ)＋－μ＝0，又O为△ABC的重心，∴＋＋＝0，∴－1＋λ＋μ＝1，μ＝－1，∴λ＝3，∴λ＋μ＝2.故选B. 答案：B 考点2 向量的平行与垂直 1．向量平行(共线) (1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. (2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b?x1y2－x2y1＝0. 2．向量垂直 向量a，b是非零向量，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. [例2] (1)[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝_____； (2)[2019·江西南昌二中期末]已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【解析】 (1)2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝. (2)∵＝－3a＋3b，＝5a＋3b，∴＝＋＝2a＋6b，又＝a＋3b，∴＝，∴∥，∴A，B，D三点共线．故选B. 【答案】 (1) (2)B 共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点. 『对接训练』 3．[2019·河北六校第三次联考]已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R. (1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值； (2) ... ...
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