第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 考点1 圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． [例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)[2019·全国卷Ⅲ]设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_____． 【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－22，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B. (2)本题主要考查椭圆的标准方程及定义，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算． 不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)． 【答案】 (1)B (2)(3，) 求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法． (2)待定系数法． ①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义． ②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为＋＝1(m>0，n>0，且m≠n)． 双曲线方程可设为－＝1(mn>0)． 这样可以避免讨论和烦琐的计算． 对于＋＝1和－＝1来说，抓住a、b、c间的关系是关键. 『对接训练』 1．[2019·江西九江模拟]点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2 C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2 解析：当a>0时，可得y＝x2；当a<0时，可得y＝－x2. 答案：D 2．[2019·吉林长春模拟]双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为(－3,0)，且C的离心率为，则双曲线C的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由题意，可得c＝3.又由e＝＝，得a＝2.又b2＝32－22＝5，故双曲线C的方程为－＝1，故选C. 答案：C 考点2 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ . 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系． [例2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( ) A．2 B．3 C．4 D．8 (2)[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，·＝0，则C的离心率为_____． 【解析】 (1)本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． 由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D. (2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算． 通解 因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图． 所以|OF1|＝|OB|， ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
