第2讲 不等式选讲 考点1 绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为?，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 解这类含绝对值的不等式的一般步骤： (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集． [例1] [2019·全国卷Ⅱ][选修4－5：不等式选讲] 已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)． (1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集； (2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围． 【解析】 本题主要考查绝对值不等式的求解，意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． (1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)． 当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0； 当x≥1时，f(x)≥0. 所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f(a)＝0，所以a≥1. 当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0， 所以，a的取值范围是[1，＋∞)． 解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊．在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值符号，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行．因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定. 『对接训练』 1．[2019·福建三明一中检测]已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|
－2， ∴－24，即实数a的取值范围是(4，＋∞)． 考点2 绝对值不等式的证明 1．绝对值三角不等式 定理1：若a、b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：设a、b、c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|. 等号成立?(a－b)(b－c)≥0，即b落在a、c之间． 推论1：||a|－|b||≤|a＋b|. 推论2：||a|－|b||≤|a－b|. 2．基本不等式 (1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． (2)定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立．也可以表述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数． [例2] [2019·全国卷Ⅰ][选修4－5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 【证明】 本题主要考查利用综合法以及基本不等式证明不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算． (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 且abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋. 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2)＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. 含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式， ... ... 