（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6．2.4　向量的数量积Word版含答案

6．2.4　向量的数量积 考点 学习目标 核心素养 向量的夹角 理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角 直观想象、数学运算 向量数量积的含义 理解平面向量数量积的含义并会计算 数学抽象、数学运算 投影向量 理解a在b上的投影向量的概念 数学抽象 向量数量积的性质和运算律 掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用 数学运算、逻辑推理 问题导学 预习教材P17－P22的内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． (2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向； ②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b反向． ■名师点拨 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 2．向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定零向量与任一向量的数量积为0． ■名师点拨 (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定． (2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式． 3．投影向量 如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量． 如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． (2)若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则＝|a|cos θ e. ■名师点拨 当θ＝0时，＝|a|e；当θ＝时，＝0；当θ∈时，与b方向相同；当θ∈时，与b方向相反；当θ＝π时，＝－|a|e. 4．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0． (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. ■名师点拨 对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直． 5．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． ■名师点拨 (1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b. (2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． (3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线?a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝(　　) A．12　　　　　　　　　 B．12 C．－12 D．－12 解析：选B.m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×＝12. 已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·＝－3 ... ...