§7 正切函数 一、教学目标 1.知识与技能 （1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义；. （2）能画出的图像； （3）掌握正切函数的基本性质. 2.过程与方法 通过正切函数的完整学习，进一步理解和掌握研究三角函数的一般思路和方法，并比较不同函数之间的相同点和不同点. 3.情感、态度与价值观 在正弦函数、余弦函数学习的基础上，通过正切函数的学习，进一步培养学生自主探索的学习习惯和分析问题、解决问题的能力. 二、教材分析 教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图像的方式，利用正切线画出正切函数的图像.根据图像，研究正切函数的性质.在此基础上，继续利用正切函数的图像，得到正切函数的诱导公式. 诱导公式的推导，可以通过单位圆的对称性或函数图像来进行.对于正弦函数、余弦函数的诱导公式，教材是利用单位圆的对称性进行推导的，不过在习题中，要求学生“运用正弦（余弦）函数图像总结正弦（余弦）函数的性质及诱导公式”，让学生从函数图像的角度分析理解诱导公式.对正弦函数、余弦函数诱导公式的学习，为本节的学习作好了知识和方法的铺垫. 三、重点和难点 本节的重点：正切函数的图像和性质. 本节的难点：画正切函数的图像，探索正切函数的诱导公式. 四、教学方法与手段 教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳 教学手段：多媒体辅助教学. 五、教学过程 （一）创设情境，揭示课题 教师引出课题前面我们学习了正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的图像与性质，今天我们一起来研究正切函数与性质.首先看正切函数的定义： 在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z). 由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量， 以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数. （二）探究新知 下面，我们给出正切函数值的一种几何表示. 如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出： 当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方； 当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。 分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等.因此，我们称有向线段AT为角α的正切线. 1.正切函数的图像 （1）首先考虑定义域： （2）为了研究方便，再考虑一下它的周期： ∴的周期为（最小正周期） （3）因此我们可选择的区间作出它的图象。 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线” 从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线的渐近线. 2.正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：， （2）值域：R 观察：当从小于，时， 当从大于，时，。 （3）周期性： （4）奇偶性：奇函数. （5）单调性：在开区间内，函数单调递增. 教师提问：正切函数在其定义域内是单调函数吗？ （三）巩固深化，发展思维 讨论函数的性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）. （观察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移单位得到） 解：定义域：. 值域：R. 奇偶性：非奇非偶函数. 单调性：在区间上是增函数. 验证下列诱导公式的正确性. （1）；（2）； （3）；（4）； （5）. 例3 若，借助三角函数定义求角的正弦函数值和余弦函数值. 解 因为所以，是 ... ...
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