2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.1均值不等式课件新人教B版必修1:49张PPT

课件49张PPT。2.2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式1.均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值(2)均值不等式【思考】 (1)算术平均值的实质是什么？ 提示：数a，b在数轴上对应的点的中点坐标. (2)均值不等式中的a，b只能是具体的某个数吗？ 提示：a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？ 请举例说明. 提示：不能，如 是不成立的.2.均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.【思考】 通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提示：求最值时，要注意三个条件，即“一正”，“二定”，“三相等”.【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两个不等式a2+b2≥2ab与 成立的条件是相 同的. (　　) (2)当a>0，b>0时a+b≥2 . (　　) (3)当a>0，b>0时ab≤ . (　　)(4)函数y=x+ 的最小值是2. (　　)提示：(1)×.不等式a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R； 不等式 成立的条件是a>0，b>0. (2)√.均值不等式的变形公式. (3)√.均值不等式的变形公式. (4)×.当x<0时，x+ 是负数.2.下列不等式正确的是 (　　) 【解析】选C.因为a2>0，所以 成立.3.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是_____.? 【解析】当a2+1=2a，即(a-1)2=0时“=”成立，此时a=1. 答案：a=1类型一　对均值不等式的理解 【典例】1.若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒 成立的是 (　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C. D. 2.不等式a+1≥2 (a>0)中等号成立的条件是(　　) 世纪金榜导学号 A.a=0 B.a= C.a=1 D.a=2【思维·引】利用均值不等式时需注意使用条件.【解析】1.选D.对于A项，当a=b时，应有a2+b2=2ab， 所以A项错；对于B，C，条件ab>0，只能说明a，b同 号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D项，因为 ab>0，所以 ，所以 .2.选C.因为a>0，根据均值不等式 ，当且仅 当a=b时等号成立，故a+1≥2 中等号成立当且仅当 a=1.【内化·悟】 1.使用均值不等式的前提条件是什么？ 提示：a>0，b>0. 2.均值不等式中，等号成立的条件是什么？ 提示：a=b【类题·通】 在均值不等式应用过程中要注意“一正、二定、三相等”. 一正，a，b均为正数； 二定，不等式一边为定值； 三相等，不等式中的等号能取到，即a=b有解.【习练·破】 设00，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为 (　　) A.80 B.77 C.81 D.822.当x>1时， 的最小值为_____. 世纪金榜导 学号?【思维·引】根据已知条件，直接利用均值不等式求最值.【解析】1.选C.因为x>0，y>0，所以 ，即xy ≤ =81，当且仅当x=y=9时，(xy)max=81.2.令t= ， 因为x-1>0，所以t≥ +2=8，当且仅当x-1 = ，即x=4时，t的最小值为8. 答案：8【内化·悟】 能利用均值不等式求最值的题目的原型是什么样的？ 提示：一般条件中有“和为定值”或“积为定值”，要求的结论是“积的最大值”或“和的最小值”.【类题·通】 利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点 1.两种类型 (1)若a+b=p(两个正数a，b的和为定值)，则当a=b时， 积ab有最大值 ，可以用均值不等式 求得.(2)若ab=S(两个正数的积为定值)，则当a=b时，和a+b 有最小值2 ，可以用均值不等式a+b≥ 求得.2.一个关注点 不论哪种情况都要注意等号取得的条件.【习练·破】 已知a>0，b>0，ab=4，m=b+ ，n=a+ ，求m+n的最小 值.【解析】因为m=b+ ，n=a+ ， 所以m+n=b+ +a+ . 由ab=4，那么b= ，所以b+ +a+ = =5，当且仅当 即a=2 时取等号.所以m+n的最小值是5. ... ...