2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.2均值不等式的应用课件新人教B版必修1:36张PPT

课件36张PPT。第2课时　 均值不等式的应用　类型一�———�常数代换法” 求最值 【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则 的最小值为_____. 世纪金榜导学号?【思维·引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值.【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上， 所以m+n=1，而 ≥2+2=4， 当且仅当m=n= 时取“=”，所以 的最小值为4. 答案：4【内化·悟】 “常数代换法”适合什么样的问题求解？ 提示：有条件的求最值问题.【类题·通】 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式. (4)利用均值不等式求最值.【习练·破】 已知x ，y均为正数，且 =1，求x +y的最小值.【解析】x+y=(x+y) =10+ ≥10+2 =16， 当且仅当 = 且 =1， 即x=4， y=12时取等号，所以x+y的最小值为16.【加练·固】 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 (　　) A. 　　　B. 　　　C.5　　　D.6【解析】选C.由x+3y=5xy， 可得 =1， 所以3x+4y=(3x+4y)· = ≥ =5，当且仅当x=1，y= 时取等 号，故3x+4y的最小值是5.类型二　利用均值不等式证明不等式 【典例】已知a，b，c均大于0，且a+b+c=1， 世纪金榜导学号 求证： ≥9.【思维·引】将“1”换为a+b+c，转化成积为常数的特点，利用均值不等式证明.【证明】因为a，b，c均大于0且a+b+c=1，所以 ≥3+2 +2+2=9.当且仅当a=b=c= 时，等号成立.【内化·悟】 结合均值不等式判断： 和 的大小关系. 提示： ≤ .【类题·通】 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用.【习练·破】 已知a，b，c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥ 8abc.【证明】因为a，b，c都是正数， 所以a+b≥2 >0，b+c≥2 >0，c+a≥2 >0，所 以(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ·2 ·2 =8abc，即 (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc，当且仅当a=b=c时等号成立.【加练·固】 已知a，b，c为正数， 求证： ≥3.【证明】左边= = . 因为a，b，c为正数， 所以 ≥2(当且仅当a=b时取“=”)； ≥2(当且仅当a=c时取“=”)； ≥2(当且仅当b=c时取“=”).从而 ≥6(当且仅当a=b=c时取等号). 所以 -3≥3， 即 ≥3.类型三　均值不等式的实际应用 【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的 关系为P=1 000+5x+ x2，而每套售出的价格为Q元， 其中Q(x)=a+ (a，b∈R)， 世纪金榜导学号 (1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本 费用最少？(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润=销售收入-成本)【思维·引】列出每套玩具的成本费用 以及利润 x·Q(x)-P的式子，可进行求解.【解析】(1)每套玩具所需成本费用为 +5=25，当 ，即x=100时 等号成立，故该玩具厂生产100套时每套所需成本最少.(2)利润为x·Q(x)-P = = x2+(a-5)x-1 000，由题意得 解得a=25，b=30.【内化·悟】 均值不等式的实际问题中的应用的关键是什么？ 提示：结合实际问题建立对应的函数关系，把实际问题中的最值问题抽象成函数的最大、最小值问题.【类题·通】 应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法 (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的 ... ...