解圆锥曲线问题常用方法 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2”,令，则d表示点P（x，y）到原点的距离；又如“”，令=k，则k表示点P（x、y）与点A（-2，3）这两点连线的斜率…… 2、参数法 （1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P（t，0）；直线x-2y+1=0上一动点P。除设P（x1,y1）外，也可直接设P（2y,-1,y1） （2）斜率为参数 当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题要求依次列式求解等。 （3）角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。 3、代入法 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P1,P2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P1代入条件P2，方法2可将条件P2代入条件P1，方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，代入P1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。 【典型例题】 例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=的最小值。 分析：由此根式结构联想到距离公式， 解：S=设Q(-2,3), 则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离 ∴Smin 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t消元后，它是一个一元二次函数） 例2：已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求的最值。 解：设O（0，0），则表示直线OP的斜率，由图可知，当直线OP与圆相切时，取得最值，设最值为k，则切线：y=kx,即kx-y=0 圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得, ∴ ∴ 例3：直线l：ax+y+2=0平分双曲线的斜率为1的弦，求a的取值范围. 分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点，且AB的斜率为1，AB的中点为M(x0,y0) 则： ①-②得 即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。 由 9x-16y=0 得C,D ∴点M的轨迹方程为9x-16y=0(x<-或x>) kPD= 由图知，当动直线l的斜率k∈时，l过斜率为1的弦AB的中点M，而k=-a ∴a的取值范围为： 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB中点轨迹并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。再利用图形中的特殊点（射线的端点C、D）的属性（斜率）说明所求变量a的取值范围。 例4：过y2=x上一点A（4，2）作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。 分析：（1）点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k，写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得点C坐标，再求BC斜率。 （2）因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B（x1,y1）,C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B（y12,y1）,C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。 解法1：设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k AB：y-2=k(x-4),与y2=x联立得： y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解， ∴2yB= xB=yB2= ∴B ∵kAC=-k,以-k代替k ... ...
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