空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣. 2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的能力. 学习过程 一、课题导入,问题探究 问题1:我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗? 问题2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积? 问题3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积? 问题4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗? 二、类比思考,引起联想 问题5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系? 问题6:回顾长方体、正方体和圆柱,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式. 问题7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢? 三、典型例题 【例1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为( ) A.18 B.15 C.24+8 D.24+16 【例2】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积. 【例3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( ) A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 (2)三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1,则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8 【例4】 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8 g/cm3)六角螺帽,共重5.8 kg,已知底面是正六边形,边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π取3.14) 四、作业精选,巩固提高 1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A. B. C.π D. 2.向高为H的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是( ) 3.一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm2和49 cm2,一个平行于底面的截面面积为25 cm2,则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A.2∶1 B.3∶1 C.∶1 D.∶1 4.已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面积是 .? 5.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.求 (1)该几何体的体积V; (2)该几何体的侧面积S. 布置作业 课本P28习题1.3A组第1,2,3题. 参考答案 一、问题1:正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体,它们的表面积就是各个面的面积的和. 问题2:棱柱的侧面展开图是平行四边形,其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和;棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的,其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和;棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的,其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. 问题3:由于它们的底面都是圆面,其底面积直接应用圆的面积公式即可,其中圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形,利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积,表面积等于侧面积与底面积的和. 如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl,因此,圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l). (设计意图:将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题常用的方法.) 问题4: 圆台的侧面展开图是一 ... ...
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