中小学教育资源及组卷应用平台 2.1函数的概念与表示 一、知识与能力目标 1、理解函数的概念 2、理解函数与映射的联系与区别 3、掌握函数定义域的求法 4、掌握函数解析式的求法 5、掌握函数值域的求法 6、理解分段函数的意义 二、主要知识 1、映射：设A、B是两个非空集合，如果按照某种映射法则，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作 2、函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种映射法则，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应叫做从集合A到集合B的函数，记作 集合A叫做函数的定义域，函数值的集合C叫做函数的值域。 （1）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 （2）映射与函数的区别：函数要求构成的集合都必须是数集，而映射只要是集合即可，可以把函数看成是一种特殊的映射，看成是建立在数集上的一种映射。 （3）函数相等的判定：（1）定义域相同 （2）对应法则一样 3、函数定义域的求法：函数的定义域，就是使函数有意义的自变量的取值的集合。求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于等于零，零的零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； 注：如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。 4、函数值域的求法 （1）配方法 （2）单调性法 （3）换元法 （4）判别式法 （5）反解法 （6）不等式法 （7）构造法 5、分段函数： 若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数； 三 、典型例题 题型一：函数概念与求值 例1．已知映射，其中集合，集合中的元素都是 中元素在映射下的象，且对任意的，在中和它对应的元素是，则集合中元素的个数是 （ A ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 例2．下列各对函数中，相同的是 （ D ） 【随堂练习1】若函数的定义域为，值域为 ，则函数的图象可能是（ ） 2 2 2 2 -2 -2 2 -2 2 -2 2 A B C D 题型二：分段函数问题 例3．已知函数，若，求的值 ..w解：由， 无解，故的值为. 例4．已知函数，若，求的取值范围。 解：当时，有，即，得： ， 当时，有，即，得 所以的取值范围为： 例5． 解： 【随堂练习2】定义在上的函数满足，且 ，求的值 【随堂练习3】已知函数，求不等式的解集 题型四：函数的定义域 例6.求函数的定义域 解：由，得函数的定义域为： 例7．求函数的定义域。 解：由，故函数的定义域为： 例8．求函数的定义域 解：由 所以，函数的定义域为： 例9．已知的定义域为［－2，2］，求的定义域。 解：令，得，即，因此 从而，故函数的定义域是。 例10．已知函数的定义域为，求实数的取值范围。 解：（1）当时，函数的定义域为 （2）当时，是二次不等式，有 综上可知。 【随堂练习4】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【随堂练习5】求函数的定义域. 【随堂练习6】已知的定义域为［1，2］，求的定义域. 题型五：函数的解析式 例11．（1），求 （2）已知，求； （3）已知，求 （4）已知是一次函数，且满足，求； （5）已知，求. （6）已知满足，求． 解：（1），所以 （2） ∴（或）． （3）令 ， ∴ （4）设， 则 ∴，，∴． （5）………………① 把①中的换成得：………………② 由①②解得：． （6） ①，把①中的换成，得 ②， ①②得，∴． 【随堂练习7】已知，求的解析式 题型六：函数的值域 例12．求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） (7) （8） 解：（1）， ∴的值域为． （2）分离变量法：， ∵，∴， ∴函数的值域为． （3）代数换元法：设，则， ∴原函数可化为 ... ...
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