第19章 矩形、菱形与正方形 本章重点巩固训练（二） 类型1 正方形的性质与判定 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是点E、F，求证:四边形DECF是正方形. 2.（陕西）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G. 求证:AG=CG. 3.如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，试判断EF与AP的数量关系，并说明理由. 4.如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方行ABCD边AB，CD，DA上，AH=2，DG=2，连接CF.求△FCG的面积. 5.（江苏杭州）如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG. （1）写出线段AG，GE，GF之间的数量关系，并说明理由； （2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长. 类型2 特殊平行四边形的探究性问题 6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且DE∥AC，DF∥AB.（1）如果∠ABC=90°，判断四边形AEDF的形状； 如图，以△ABC的三边为边，在BC边的同侧作等边△DBA，△EBC，△FAC． （1）试说明四边形AFED是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形，说明理由； （3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是正方形？ （4）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED不存在？ 7.探究:如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、AE，求证:△ACE≌△CBD. 应用:如图2，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD、EA，延长EA交CD于点G，求∠CGE的度数. 8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠A=∠D，点E是线段AD上的一个动点（点E与点A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点. （1）探究四边形ECFH的形状，并说明理由； （2）当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形?为什么? （3）若（2）中的菱形ECFH是正方形，请探究线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论. 参 考 答 案 1.证明:∵CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC， ∴DE=DF，∠CED=∠CFD=90°. ∵ACB=90°， ∴四边形DECF是矩形， 又∵DE=DF， ∴四边形DECF是正方形. 2.证明∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD. ∵AE=CF， ∴DE=DF， 又∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴∠DAF=∠DCE， 在△AGE和△CGF中， ， ∴△AGE≌△CGF（AAS）， ∴AG=CG. 3.解：EF=AP.理由如下: ∵PE⊥BC，PF⊥CD，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC=∠PFC=∠BCD=90°， ∴四边形PECF是矩形. 如图，连结PC，则PC=EF ∵P是正方形ABCD对角线上一点， ∴AD=CD，∠PDA=∠PDC. 在△PAD和△PCD中， ， ∴△PAD≌△PCD（S.A.S.）， ∴PA=PC ∴EF=AP. 4.解：过点F作FM⊥CD交DC延长线于M，如下图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°，AB=CD=6，DC∥AB， ∴∠CGE=∠AEG， ∴四边形EFGH是菱形， ∴EH=GF，GF∥HE， ∴∠FGE=∠HEG， ∴∠CGF=∠AEH， 在△FGM和△HEA中，， ∴△FGM≌△HEA（AAS）， ∴FM=AH=2， ∵DG=2，DC=6， ∴GC=4， ∴△FCG的面积=GC·FM=×4×2=4. 5.解：（1）AG2=GE2-GF2. 理由:连结CG. ∵四辺形ABCD是正方形， ∴A、C关于对角线BD对称， ∵点G在BD上， ∴GA=GC， ∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°， ∴四边形HGFC是矩形， ∴CF=GE. 在Rt△GFC中，CG2=GF2+CF2， ∴AG2=GF2+GE2. （2）作BN⊥AG于N，在BN上取一点M，使得AN=BM.设AN=x. ∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°， ∴∠AGB=60°， ∴∠GBN=30°， ∴∠MAB=∠ABM=15°， ∴∠AMN=30°， ∴BM=AM=2x，MN=x， 在Rt△ABN中， ∵AB2=AN2+BN2， ∴42=x2+（2x+x）2， 解得x=（负值舍去）， ∴BN=， ∴BG= 6.解：（ ... ...
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