中小学教育资源及组卷应用平台 导数极值问题培优练习 1．下列说法正确的是（ ） A．当时，则为的极大值 B．当时，则为的极小值 C．当时，则为的极值 D．当为函数的极值且存在时，必有 【解析】选项A：令f（x）=x3，f′（0）=0，但f（0）不是极值． 选项B：令f（x）=x3，f′（0）=0，但f（0）不是极值． 选项C：令f（x）=x3，f′（0）=0，但f（0）不是极值． 选项D：若函数可导，极值点处的导数一定是0． 故选：D． 2．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①-2是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③的图象在处切线的斜率小于零； ④函数在区间上单调递增. 则正确命题的序号是（ ） A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D 3．若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为( ) A． B． C．2 D． 【解析】当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)递减不合题意，∴a＞0. f′(x)＝a－ (x＞0)， 令f′(x)＝0，即a－＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，f(x)递减； 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增． ∴当x＝时，f(x)取得极小值，f(x)无极大值． ∴＝，即a＝. 故答案为：A 4． 如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间内单调递增； ②函数y＝f(x)在区间内单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增； ④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值； ⑤当x＝时，函数y＝f(x)有极大值． 则上述判断中正确的是( ) A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③ 【解析】对于①，函数y=f（x）在区间（﹣3，﹣）内有增有减，故①不正确； 对于②，函数y=f（x）在区间（﹣，3）有增有减，故②不正确； 对于③，函数y=f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确； 对于④，当x=2时，函数y=f（x）有极大值，故④不正确； 对于⑤，当x=﹣时，f′（x）≠0，故⑤不正确． 故选D． 5．已知函数，若是函数的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为( ) A． B． C． D． 【解析】函数的定义域是， ， 是函数的唯一一个极值点， 是导函数的唯一一个极值点， 在无变号零点， 令， ， ①时，恒成立，在时单调递增； 的最小值为，无解； ②时，有解为：， ，，在单调递减， 时，，在单调递增， 的最小值为， ，由和图象，它们切于， 综上所述，. 故选：A. 6．函数在处有极值10，则点为（ ） A． B． C．或 D．不存在 【解析】，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点,符合,故选B 7．函数的极大值点是（ ） A． B． C． D． 【解析】 令,,, , , ,极大值所以极大值点 8．设函数满足则时，( ) A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 【解析】函数满足， ，令， 则， 由，得，令， 则 在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为. 又在单调递增， 既无极大值也无极小值，故选D. 9．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞) 【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1， 令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点， 在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切， 由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数 ... ...
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