2020高考理科数学二轮提分广西等课标3卷专用课件与能力训练：专题五　5.3　立体几何中的向量方法:42张PPT

专题能力训练15　立体几何中的向量方法 　专题能力训练第36页　? 一、能力突破训练 1.如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2. (1)求证:EG∥平面ADF; (2)求二面角O-EF-C的正弦值; (3)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 解:依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O(0,0,0),A(-1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(-1,0,0). (1)证明:依题意,=(2,0,0),=(1,-1,2). 设n1=(x,y,z)为平面ADF的法向量, 则 不妨设z=1,可得n1=(0,2,1), 又=(0,1,-2),可得n1=0, 又因为直线EG?平面ADF,所以EG∥平面ADF. (2)易证=(-1,1,0)为平面OEF的一个法向量.依题意,=(1,1,0),=(-1,1,2). 设n2=(x,y,z)为平面CEF的法向量, 则 不妨设x=1,可得n2=(1,-1,1). 因此有cos<,n2>==-, 于是sin<,n2>= 所以,二面角O-EF-C的正弦值为 (3)由AH=HF,得AH=AF. 因为=(1,-1,2), 所以, 进而有H,从而, 因此cos<,n2>==- 所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为 2.(2019北京通州检测,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,AA1=3,D,E分别为AB,BC的中点. (1)求证:CD⊥平面AA1B1B; (2)求二面角B-AE-B1的余弦值; (3)在线段B1C1上是否存在一点M,使BM⊥平面AB1E?说明理由. 答案：(1)证明在三棱柱ABC-A1B1C1中, ∵AA1⊥底面ABC,CD?平面ABC,∴AA1⊥CD. 又△ABC为等边三角形,D为AB的中点, ∴CD⊥AB.∵AB∩AA1=A, ∴CD⊥平面AA1B1B. (2)解取A1B1的中点F,连接DF.∵D,F分别为AB,A1B1的中点,∴DF⊥AB. 由(1)知CD⊥AB,CD⊥DF, 如图,建立空间直角坐标系D-xyz.由题意,得 A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,),A1(1,3,0),B1(-1,3,0),C1(0,3,),D(0,0,0),E-,0,, =(-2,3,0). 设平面AB1E的法向量n=(x1,y1,z1), 则 令x1=1,则y1=,z1= 即n= 易知平面BAE的一个法向量=(0,3,0). n=(0,3,0)=2,||=3,|n|=, ∴cos<,n>= 由题意知二面角B-AE-B1为锐角,∴它的余弦值为 (3)解在线段B1C1上不存在点M,使BM⊥平面AB1E.理由如下: 假设在线段B1C1上存在点M,使BM⊥平面AB1E,则?λ∈[0,1],使得= =(1,0,),=(λ,0,). 又=(0,3,0), =(λ,3,). 由(2)可知,平面AB1E的一个法向量n=BM⊥平面AB1E, 当且仅当n,即?μ∈R,使得=μn=, 则解得λ=[0,1],这与λ∈[0,1]矛盾. 故在线段B1C1上不存在点M,使BM⊥平面AB1E. 3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的,G是的中点. (1)设P是上的一点,且AP⊥BE,求∠CBP的大小; (2)当AB=3,AD=2时,求二面角E-AG-C的大小. 解：(1)因为AP⊥BE,AB⊥BE,AB,AP?平面ABP,AB∩AP=A,所以BE⊥平面ABP, 又BP?平面ABP,所以BE⊥BP, 又∠EBC=120°. 因此∠CBP=30°. (2)(解法一)取的中点H,连接EH,GH,CH. 因为∠EBC=120°,所以四边形BEHC为菱形,所以AE=GE=AC=GC= 取AG中点M,连接EM,CM,EC,则EM⊥AG,CM⊥AG,所以∠EMC为所求二面角的平面角. 又AM=1,所以EM=CM==2 在△BEC中,由于∠EBC=120°, 由余弦定理得EC2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以EC=2,因此△EMC为等边三角形,故所求的角为60°. (解法二)以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意得A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,,3),C(-1,,0),故=(2,0,-3),=(1,,0),=(2,0,3),设m=(x1,y1,z1)是平面AEG的一个法向量. 由可得 取z1=2,可得平面AEG的一个法向量m=(3,-,2). 设n=(x2,y2,z2)是平面ACG的一个法向量. 由可得 取z2=-2,可得平面ACG的一个法向量n=(3,-,-2). 所以cos= 因此所求的角为60°. 4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点. (1)求证:B1E⊥AD1; (2)在棱AA1上是否存 ... ...