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课件网) 2.4 一元二次方程根与系数的关系 浙教版 八年级下 新知导入 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程根的判别式是什么？ 3.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； b2－4ac 新知导入 4.一元二次方程的根的情况怎样确定？ b2-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； b2-4ac=0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； b2-4ac＜0则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 新知讲解 先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： (1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0 方程 两个根 两根之和 两根之积 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-12x+11=0 x2-9=0 4x2+20x+25=0 1 11 12 11 3 -3 0 -9 -5 新知讲解 你可以发现什么结论？ 一般的，一元二次方程的根与系数有如下关系： 如果x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，那么 x1+x2= ，x1·x2= 【注意】能用这个结论的前提为b2－4ac≥0 上面的结论对于任意的一元二次方程都适合的吗？ 新知讲解 下面我们来证明这一结论。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2 新知讲解 下面我们来证明这一结论。 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2 新知讲解 例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根， 求 x12+x22和的 值. 解：有一元二次方程的根与系数的关系，得 【总结归纳】求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和或两根之积的形式，再整体代入． 新知讲解 几种常见的求值: 新知讲解 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1写出这个方程. 解 设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得 所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0. 新知讲解 【拓展延伸】 （1）根与系数的关系是在a≠0，b2－4ac≥0的前提下提出的 （2）一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。 推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p x1·x2=q 推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2+（x1+x2）x+x1·x2=0 课堂练习 1.一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是 ( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3 D 2.设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是( ) A．19 B．25 C．31 D．30 C 课堂练习 3.等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为( ) A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 B 课堂练习 4.已知关于x的方程x2－mx－3＝0的两实数根为x1，x2(x1＞x2)，若x1＋x2＝2，求x1，x2的值． 解：∵x1＋x2＝2，∴m＝2. ∴原方程为x2－2x－3＝0， 即(x－3)(x＋1)＝0， 解得x1＝3，x2＝－1. 拓展提高 5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值． 解：根据一元二次方程根与系数的关系， 得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2＋1， ∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[－(2m＋1)]2－2(m2＋1) ＝2m2＋4m－1. ∵x12＋x22=15，∴2m2＋4m－1＝15，∴m1＝－4，m2＝2. 拓展提高 5.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2＋1＝0的两个实数根，当x12＋x22＝15时，求m的值． 又∵方程有两个实数根， ∴b2－4ac≥0，即(2m＋1)2－4×1×(m2＋1)≥0，解得m≥ . ∴m＝2. 中考链接 6.（2019 玉林）若一元二次方程x2-x-2=0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1-x1）的值是（ ） A．4 B．2 C．1 D．-2 A 7（2019 广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（ ） A．x1≠x2 B．x12-2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1 x2=2 D 课堂总 ... ...
