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课件网) 新课导入 通过对n=1，2，3，4前4项的归纳，我们已经猜出其通项公式为 这个猜想对前4项成立，但是，能肯定它对后续的项也成立吗？ 这个猜想需要证明，自然地，我们会想到从n=5开始一个个往下验证. 这个方法可行吗? 我们来分析此方法： 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.因此，从n=5开始逐个往下验证的想法价值不大.我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立. 大家都听说过多米诺骨牌游戏，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.只要推到第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下. 这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 思考… 动动脑 大家想一想，自己总结出倒下的条件. 只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就都能倒下： （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下； 你认为条件（2）的作用是什么？ 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下. 这样，只要第一块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下. 大家现在能证明这个猜想吗？ 这个猜想和多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 游戏的条件（1） 由条件容易知道，n=1时猜想成立. 游戏的条件（2） 下面我们证明此猜想： 相当于 类比 证明一个递推关系. 考虑 如果n=k时猜想成立，即 ， 那么当n=k+1时猜想也成立，即 . 这样，对于猜想，由已知n=1成立，就有n=2也成立；n=2成立，就有n=3也成立； n=3成立，就有n=4也成立； n=4成立，就有n=5也成立······所以，对任意的正整数n，猜想都成立. 此猜想正确，即 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 证明当n取第一个值n0 时命题成立； 2.假设当n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 这种证明方法就叫做 数学归纳法. 归纳奠基 归纳递推 用框图来表示此证明方法: 验证n=n0 时命题成立. 当n=k(k≥n0)时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 归纳奠基 归纳递推 命题对从n0开始所有的正整数n都成立. 用数学归纳法证题时,应注意的事项 : “归纳奠基”和“归纳递推”两个步骤缺一不可，其中第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的根据. 具体说明如下： (1)第一步———归纳奠基 必须有第一步，如果没有第一步，证明不可靠； 很重要哦！特别注意！ 用数学归纳法进行证明时，第一步从n等于几开始，要根据具体问题而定. 如果要证明的命题是对全体正整数都成立的，则要从n=1证起； 一般来说 如果要证明的命题是对全体自然数(包括0)都成立的，则要从n=0证起. (2)第二步———归纳递推 “假设n=k(k?N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立”,其本质是证明一个递推关系，归纳递推的作用是从前往后传递，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点（例如n=1）不断发展，以至无穷.如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数n都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立. 用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而第二步主要在于合理运用归纳假设，即以“n=k时命题成立”为条件，结合其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”.不能不使用“n=k时命题成立 ... ...
