苏教版高中数学必修一教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：12函数的表示方法(提高)

函数的表示方法 【学习目标】 了解构成函数的要素有定义域、对应法则、值域，会求一些简单函数的定义域和值域；掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；了解简单的分段函数，并能简单的应用。 【典型例题】 类型一、判断两函数是否为同一个函数 例1.试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），； （2）， （3），（n∈N*）； （4），； （5）， 【思路点拨】要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 【解析】（1）由于，，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数. （2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数. （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数. （4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数. （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. 【答案】（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【总结升华】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，，都可视为同一函数. 举一反三： 【变式】下列函数中与函数相同的是( ) A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y= 【答案】B； 【解析】因为y = ，所以应选择B 例2．下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）； 【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立. 【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是 【解析】 (1) 的定义域不同，前者是，后者是，因此是不同的函数； (2)，因此的对应关系不同，是不同的函数； (3) 的对应关系不同，因此是不相同的函数； (4) 的定义域相同，对应关系相同，是同一函数. 【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是： (1)定义域不同，两个函数也就不同； (2)对应法则不同，两个函数也是不同的. (3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则. 举一反三： 【变式】判断下列命题的真假 (1)y=x-1与是同一函数； (2)与y=|x|是同一函数； (3)是同一函数； (4)与g(x)=x2-|x|是同一函数. 【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法 例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)； (2)；　　　　(3). 【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 (1)的定义域为x2-3≠0，； (2)； (3). 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解. 举一反三： 【变式】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)； (2)；（3）. 【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2） ... ...