第十九讲 数的整除 【趣题引路】 盒中原有7个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了7个小球，将其放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了7个小球后放回盒中，如此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是（ ） A.1990个 B.1991个 C.1992个 D.1993个 解析 无论魔术师如何变，盒中球的总数为6k＋7个，其中k为自然数，经验证，1993＝331×6＋7符合要求.故选D. 【知识延伸】 在整数的问题中，数的整除性占有极为重要的地位，它几乎是各级各类数学竞赛命题的基础和源泉. 1.整除的定义 对于整数a、b（b≠0），如果a除以b得到的商是一个整数q，即a÷b＝q或a＝bq，则称a能被b整除，或称b能整除a，记作b|a，此时a叫做b的倍数，b是a的因数；如果b不能整除a，记作ba. 2.数的整除的若干性质 根据整除的定义，有如下性质： （1）如果a|b，a|c，m，n为整数，那么a|（mb±nc）. （2）如果a|b，b|c，那么a|c. （3）如果a|bc，且a，b互质，那么a|c. （4）如果a|b，c|b，且a，c互质，那么ac|b. （5）n个连续整数的乘积，一定能被1×2×3×…×n整除。 3.数整除的特征 （1）能被2（或5）整除的数的特征：个位数字能被2（或5）整除. （2）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除. （3）能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除. （4）能被3（或9）整除的数的特征：各位数字之和能被3（或9）整除. （5）能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除. （6）能被7、11、13整除的数的特征：奇位千进位数段之和与偶位千进位数段之和的差能被7、11、13整除. 例如，判别34425391能否被7、11、13整除，先从后往前分节，得34425391.奇位千进位数段之和为34＋391＝425，偶位千进位数段之和为425，两者之差425－425＝0.因为0能被7、11、13整除，所以34425391能被7、11、13整除. 上述性质与特征是解决整除问题的重要理论依据.解决整除问题常用的方法有：利用数的整除特征，凑连续整数乘积法，整数的多项式表示法，按同余分类整数表示法，考虑余数法，奇偶性分析法等等. 例1 在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个？ 解析 由于2与3互质，3与5互质，5与2互质（这种特性我们也称为2、3、5两两互质），所以同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5＝30整除；另一方面，被30整除的正整数必然可同时被2、3、5整除，因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个. 点评：若a1，a2，…，am两两互质，则同时被a1，a2，…，am整除的正整数能被a1·a2·…·am.整除，这是一个非常有用的结论. 一般地，在a1，a2，…，am不一定两两互质时，有下面的结论： 同时被a1，a2，…，am整除的正整教能被a1，a2，…，am的最小公倍数整除. 另外，在求100以内被30整除的正整数的个数时，并不一定要把30、60、90全部列出，只要用100除以30，则商3使是所求的个数. 例2 某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”.证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被101整除. 解析 显然，号码为9999是幸运券，除这张外，如果某个号码n是幸运券，那么号m＝9999－n也是幸运券，由于9是奇数，所以m≠n.由于m＋n＝9999相加时不出现进位，这就是说，除去号码9999这张幸运券外，其余所有幸运券可全部两两配对，而每一对两个号码之和均为9999，即所有幸运券号码之和是9999的整倍数，而101|9999，故知所有幸运券号码之和也能被101整除. 点评 “如果某个号码n是幸运养，那么号m＝9999 ... ...
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