第十一讲 解直角三角形 【趣题引路】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220kmB处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响，若你是该市气象局的首席气象专家，请你对此次台风对该市的影响情况作出预测。（1）该市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 图11-1 解析 （1）作于点D，（如图11-1）， 由题意知，当A点距台风中心不超过160km时，就会受台风影响.由于AD=110＜160，所以A市会受这次台风影响； （2）在BD及BD的延长线上分别取E、F两点，使AE=AF=160km，则当台风中心从到达E点时起，直到离开F点，该市都会受到这次台风的影响， 这次台风影响持续的时间为； （3）当台风中心位于D时，A市所受这次这次台风的风力最大，其最大风力为 【知识延伸】 解三角形，除运用锐角三角函数知识，往往还要用到我们已经学过的勾股定理，以及另两个非常重要的定理：正弦定理和余弦定理. 图11-2 如图11-2，在△ABC中，AC=,AB=,BC=.过A作BC上的高，长为，则有 于是有于是，得，同理可得因此 这就是正弦定理，推而广之可得一个重要的三角形面积计算公式 在上图中， 得，同理可得 ，.这就是余弦定理. 运用正弦定理和余弦定理可以将三角形的范围由直角三角形扩充到斜三角形. 例1 已知，如图11-3，在四边形ABCD中AD=CD,AB=7,90°，求BC的长. 图11-3 解析 延长AB与DC交于点E，∠D=90°，得DE=2AD, ∠BCE=180°∠BCD=∠A, 设BC=，则BE=，因而EC=又 点评：一般图形化为直角三角形，结合方程或二次函数，往往能够简捷地解决问题. 例2 在四边形ABCD中，AB=4,BC=3,CD=12,∠B=90°，,求AD的长. 图11-4 解析 如图11-4，连接AC，则△ABC为Rt△，于是AC=5, 30°， 即=30°，90°. 由勾股定理知 点评：运用公式不但可以求三角形的面积，而且可以由面积求边角的大小 【好题引路】 佳题新题品味. 例1 如图11-5，河对岸有A、B两目标，但不能到达，在河这边沿着与AB平行的方向取相距40m的C、D两点（点A、B、C、D在同一平面内），并测得∠ACB=70°，∠BCD=65°，∠ADC=30°，求A、B两目标之间的距离.（结果不取近似值，用含有锐角三角函数的式子表示.） 图11-5 解析 作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分别为点E、F，∵AB∥CD,∴四边形ABFE为矩形，∴AB=EF. ∵∠ACE=180°∠ACB∠BCD=180°70°65°=45° ∴∠EAC=45°，AE=EC.设EC=m， ∵∠ADE=30°，且DE=AE·cot∠ADE. 又∵DE=+40，∴+40=·cot30°，解得=， ∴AE=EC=BF=,在Rt△BFC中，cot∠BCF=,即CF=BF·cot∠65°=（）cot65°，∴AB=EF=EC+CF=()+()cot∠65°（m） A、B两目标之间的距离为[()+()·cot∠65°]m 点评：本题体现了两种数学方法的应用，①构建数学几何模型，把一般三角形转化为解直角三角形；②通过设未知数，结合几何图形构建方程，将未知量与已知量联系起来. 例2 如图11-6，E是四边形ABCD的DC边上一点，CE=,AB=2,BC=,∠D=90°, ∠B=60°,（1）求AC的长；（2）求∠ACD的度数. 图11-6 解析 （1）过点A作AF⊥BC,垂足为F,则AF=AB·sin∠B=2·sin60°=, BF=AB·cos∠B=2·cos60°=1.∴CF=BC－BF= 在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC=； (2)∵=而 ∴∴AD=.又sin∠ACD= 故∠ACD=30°. 点评：本题求AC也可直接利用余弦定理：直接求得. 中考真题欣赏 例1（辽宁省中考）如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，建筑物周围没有开阔平整地 ... ...
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