第十六讲 和圆有关的比例线段 【趣题引路】 某建筑物上装有一块长方形广告牌，上下边相距5 m，下底边距离地面5.6m.如果人的眼部高度为1.6m，那么从远处正对广告牌走近时，看广告牌效果最好的位置距该建筑物多远？ 解析：广告牌AB在视线的水平线DF之上.如图16-1，因此，可过AB两点作一个圆，使圆与DF相切，这时可看到，当人从远处走来时，人眼在DF的水平线上，除D点外，DF上的其余各点都在圆外，则当人走到DE处时∠ADB最大，看广告效果最好. 那么如何求出CE的距离呢？ 由切割线定理可知，DF2=BF·AF，且CE=DF，因此，很容易得到 DF2=4×9=36，∴DF=6（m） 即人距离广告牌6m左右看广告牌的效果最好. 图16-1 【知识延伸】 过一点P作与圆有关的两条直线，点P与圆的不同位置有两种： 1.当点P在圆内时，这两条直线分别交圆于A、B和C、D，则PA·PB=PC·PD，这就是相交弦定理，如图16-2. 2.当点P在圆外时，分两种情况： （1）这两条直线与圆都有两个交点，分别为A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD称作割线定理，如图16-3. （2）当这两条直线中一条与圆有两个交点，另一条只有一个交点（切点）M时，得切割线定理：PA·PB=PM2. 相交弦定理、切割线定理及切割线定理的推论（割线定理），我们统称为圆幂定理. 圆幂定理在形式上也可以进一步统一.如图16-4，点P在圆内时，像所作的虚线那样，连OP，过点P作弦EF⊥OP，交圆于E、F，由于PE=PF，故PA·PB=PC·PD=PE·PF=PF2=r2-OP2，其中r为⊙O的半径； 如图16-5，点P在圆外时，连OM、ON、OP，有PA·PB=PC·PD=PM·PN=PM2=OP2-r2. 综上分析，圆幂定理可以统一为PA·PB=│r2-OP2│.换言之，圆幂定理可叙述为：通过不在⊙O上一定点P向⊙O任作一直线交⊙O于A、B两点，则有PA·PB=│r2-OP2│（│r2-OP2│叫做点对于⊙O的幂）. 圆幂定理揭示了圆中线段的比例关系，对于涉及相交弦，切割线的有关计算，常可利用圆幂定理去求. 例1 已知，如图16-6，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CDF交AB于E，并且CD：DE:EF=1：2：1，AC=4.求⊙O的直径AB. 解析设CD=k，则DE=2k，EF=k，CF=4k.由切割线定理，有AC2=CD·CF. ∴42=k·4k，k=2.∴CE=6，DE=4，EF=2. 在Rt△ACE中，由勾股定理，有 .根据相交弦定理，得AE·EB=DE:EF. ∴. ∴AB=AE+EB= 点评：利用圆幂定理计算，就是利用圆幂定理列出含待求线段的方程，若方程中还有一个未知线段，设法先求出这条线段，不仅要注意利用圆幂定理，还要充分发挥相似三角形的性质和勾股定理的作用. 例2 已知圆内接四边形ABCD，延长AB、CD交于点E，延长AD、BC交于点F.EM，FN为圆的切线.分别以E、F为圆心，EM，FN为半径作弧，两弧交于K，如图16-7. 求证：EK⊥FK. 证明 连结EF，过B、C、E三点作圆交EF于H，连结CH.∵B、C、H、E共圆， ∴∠1=∠2. ∵A、B、C、D共圆，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3. 故D、C、H、F四点共圆. 由切割线定理，得EM2=EC·ED=EH·EF. FN2=FC·FB=FH·FE， ∴ME2+FN2=（EH+FH）·EF=EF2 又∵EM=EK，FN=FK，∴EK2+FK2=EF2. 故△EKF为直角三角形， ∴∠EKF=90°，故EK⊥FK. 点评：本题利用四点共圆，把隐含圆的圆找出来，然后利用圆幂定理，勾股定理的逆定理来解决此题. 【好题妙解】 佳题新题品味 例1 已知，如图16-8，AE⊥BC于点E，BD⊥AC于D，AE、BD相交于点F. 求证：AB2=AF·AE+BF·BD. 证明 作△BEF的外接圆，设圆心为O，交AB于M.连结FM，由切割线定理，得AF·AE=AM·AB. ∵∠BEF=90°.BF是⊙O的直径. ∴∠BMF=∠BDA. ∴∠FBM=∠ABD， ∴△BMF∽△BDA. ∴， BF·BD=AB·BM. ∴AF·AE+BF·BD=AM·AB+AB·BM=AB2. 点评：结论中的AF·AE使我们联想到切割线定理.把线段AFE看成是以FE为弦的圆的割线，可过E、F、B作圆，交AB于M，则AF·AE=AM·AB；再设法求出BF·BD ... ...
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