幂函数及图象变换 【学习目标】 1．通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况. 2．掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题． 3．掌握初等函数图象变换的常用方法． 【典型例题】 类型一、求函数解析式 例1.已知是幂函数，求、的值． 【答案】 【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组． 由题意得解得 即为所求． 【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格．判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：①指数为常数，且为任意常数；②底数为自变量；③系数为1． 举一反三： 【变式1】已知幂函数的图象过点，则= ． 【答案】 【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即． 类型二、幂函数的图象 例2.给定一组函数的解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象． 由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填⑥④③． 由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填②⑦①． 最后一个图象对应的幂指数大于1，故填⑤． 【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性．类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可． 举一反三： 【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为： ． 【答案】 【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（ ） A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且 C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且 【答案】D．由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数．由函数图象在第一象限为减函数知． 类型三、幂函数的性质 例3．有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一： （1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点．又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？ 【答案】21；3 【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题． 由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点．又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数．设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12, =18.又，,,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个．又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点．反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）． 【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定 ... ...
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