沪科版教案：24.3 圆周角

24.3 圆周角 教学目标 1.知识与技能 (1)使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角的性质； (2)准确地运用圆周角性质进行简单的证明计算。 2.过程与方法 通过观察、思考实验探索等活动，分类证明圆周角定理。向学生渗透由特殊到一般的数学思想方法。 3.情感、态度与价值观 在活动中获取成功的体验，提高学习数学的兴趣。培养学生分类思想 教学重点难点 重点：圆周角的概念和圆周角定理及性质； 难点：圆周角定理的证明及证明中的完全归纳法 教具准备：圆规、直尺 教与学互动设计 一、复习引入 引导学生复习圆心角的概念 问题：（1）什么是圆心角？（2）怎样确定圆心角的度数？ 二、创设情景，导入新课 一个三角形，当它内接于一圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系。 如图，△ABC内接于⊙O，∠A，∠B，∠C，有什么共同特点？ （学生讨论交流，有一名学生回答） 三个角顶点都在圆周上，而且两边都与圆相交。 由此引入新课，板书课题：§26.4圆周角 三、合作交流、探索新知 定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。 判断题：下列图形的角是不是圆周角，并说明理由。 A B C D E 鼓励学生积极参与思考，引导学生归纳出一个角是圆周角的条件： （1）顶点在圆上；（2）两边都与圆相交。 （学生讨论得出的结论，使学生有更深刻的印象） 上面的四幅图都是只满足一个条件，所以都不是圆周角。 问题1：圆周角的大小又跟什么有关系呢？ 如图：当等边三角形△ABC内接于⊙O时请思考∠AOB与 ∠ACB的度数，他们满足一个怎样的等量关系？从而你得出一个什么样的结论？ （1）让学生大胆猜想，分组讨论 （2）学生在全班交流 （3）教师指导 ①利用等边三角形性质 ②通过测量可以得到 关系：∠ACB=∠AOB 结论：一个圆周角的大小与他所对弧上圆心角有关，前者是后者的二分之一。 问题2：在等边三角形中有这样的关系，那么对一般的圆内接三角形是否成立呢？ （1）让学生大胆猜想，分组讨论 （2）学生在全班交流 （3）教师指导 （指导学生通过测量验证猜想结论 于是我们可得如下结论 结论：一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 如何证明这个命题的正确性呢？ 教师引导：一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？ 虽然一条弧所对的圆周角有无数个，圆心角只有一个，圆周角与圆心的位置关系，归纳起来有三种情况。请你画出圆周角与圆心的位置关系。 （学生先自己讨论，全班交流，师生共同总结） （1）角的一边在直径上。连接OC，则△AOC是等腰三角形，∠A=∠OCA。所以∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A,则∠A=∠BOC； （2）角的两边分居圆心两边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC。那么 ∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC； （3）角的两边在圆点一边，启发学生转化为（1）解决。连接AO并延长交⊙O于点D，再连接OB、OC，那么 ∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BOD+∠COD=∠BOC 注：分类讨论是一种重要的数学方法。 综合以上三种情况可以得知： 定理： 一个弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半 练习：课本P29 练习1、2、3题 （主要是学生在下面自己完成，教师巡视，对发现的问题及时指导，然后由一名学生口述解题过程） 思考题1：如右图，请思考∠C1，∠C2，∠C3 度数，它们满足什么样的等量关系？ 你能得到什么样的结论？如果是等弧又会怎样呢？ （学生思考交流，教师引导，师生共同归纳） 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，相等的圆周角所对的弧 也相等。 思考题2：如右图，AB为直径，∠AOB=180°， 请思考∠C1，∠C2，∠C3度数， 从而你得到什么结论？ （学生思考交流，教师引导，师生共同归纳） 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 （这是一个应用非常广泛的推论 ... ...