第02讲 平行线和全等三角形 考点梳理 一、几何图形知识回顾（可引导学生从点线面出发，进行游戏） 疯狂开火车啦!老师以一排学生为开始,每位学生说出已经学过的几何图形知识点，当一名同学回答完毕后，紧挨着的同学必须马上说出另外不同的知识点，依次进行下去。 二、几何图形考点概要 重点剖析 重点一、构造全等三角形的方法 ①倍长中线法：延长中线，构造一条与中线长度相等的线段。 例1、如图，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，已知AC=BF， ∠DAC=35°，∠EBC=40°，求∠C度数 【解析】如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM． 在△BDM和△CDA中，， ∴△BDM≌△CDA， ∴BM=AC=BF，∠M=∠CAD=35°，∠C=∠DBM， ∵BF=AC， ∴BF=BM， ∴∠M=∠BFM=35°， ∴∠MBF=180°﹣∠M﹣∠BFM=110°， ∵∠EBC=40°， ∴∠DBM=∠MBF﹣∠EBC=70°， ∴∠C=∠DBM=70° 【举一反三】 在△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，?过C作直线CE,分别交AM、AB于点D、E，?且AD=AE，AE=6，AC=8，?求AM的长 【解析】如图，延长AM，使得AM=MN，连接CM 在ABM△和△NCM中， ∴△ABM≌△NCM（SAS） ∴AB=CN=AC=8, ∴AB∥CN ∴ ∵AE=DE=6 ∴ ∵ ∴ ∵（已证） ∴ ∴DN=CN=8 ∴AN=DN+AD=8+6=14 ∴AM=7 ②截长补短法：在一条较长线段上，截取一条与已知线段相等的线段，通常还有角平分线这一条件。一般用于证明线段的和差关系。 例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC 【解析】证明：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD和△AED中， ∴△ABD≌△AED（SAS） ∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C ∴∠AED=2∠C 而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠C=∠EDC ∴DE=CE ∴AB+BD=AE+CE=AC 【举一反三】 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由． 【解析】证明：在BC上取点G使得CG=CD， ∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120° ∴∠BOE=∠COD=60° ∵在△COD和△COG中，， ∴△CODF≌△COG（SAS） ∴∠COG=∠COD=60° ∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE ∵在△BOE和△BOG中， ∴△BOE≌△BOG（ASA） ∴BE=BG， ∴BE+CD=BG+CG=BC． ③运用角平分线法：根据角平分线性质，可以得到垂线段相等，运用这个来解题。 例3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． 证明： BE=CF 【解析】证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD=CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL） ∴BE=CF 【举一反三】 已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC． （1）求证：AM平分∠DAB． （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论． 【解析】（1）证明：过M作ME⊥AD于E， ∵DM平分∠ADC，∠C=90°，ME⊥AD， ∴MC=ME， ∵M为BC的中点， ∴BM=MC=ME， 在Rt△AEM与Rt△ABM中 ∴Rt△AEM≌Rt△ABM（HL） ∴∠EAM=∠BAM ∴AM平分∠DAB （2）AM⊥DM， 证明：∵AB∥DC， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD=∠BAD，∠MDA=∠ADC， ∴∠MAD+∠MDA=90°， ∴∠AMD=90°， ∴AM⊥DM． 重点二、 平行线问题中的构造方法 ①平行线中有一个拐点或者多个拐点的情况，常见的辅助线就是过这个拐点或几个拐点做已知直线的平行线或者延长平行线之间的第三条直线。常见辅助线如下: 例1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线． （1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO． （2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论． 【解析】（1）证明：作OM∥AB，如图， ∴ ... ...
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