苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：04任意角的三角函数(提高)

任意角的三角函数 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3．会应用三角函数的定义解决相关问题。 【典型例题】 类型一：三角函数的定义 例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值； （2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。 【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】（1），，，或，，，（2）或 【解析】 （1）。 若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则 ，， ，。 若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则 ，，，。 （2）因为角的终边在直线上， 所以可设为角终边上任意一点。 则（a≠0）。 若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以 ， ， 。 若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。 【总结升华】 三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。 举一反三： 【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值. 【解析】由题设知，，所以，得， 从而， 解得或. 当时，， ； 当时，， ； 当时，， . 【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。 【答案】或 【解析】 y=|2x|， 取点P（1，2）， 或 类型二：三角函数的符号 例2．（1）判断的符号； （2）若sin=―2cos，确定tan的符号； （3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号； （4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？ （5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？ 【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三 【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。 （2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。 （3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。 （4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角， 又cos＞0，所以为第一或第四象限角， 所以为第四象限角。 （5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z）， 所以（k∈Z）。 当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。 又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。 综上知，角终边在第三象限。 【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。 举一反三： 【变式1】求函数的值域。 【答案】{－1，3} 【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。 当x是第一象限角时，； 当x是第二象限角时，； 当x是第三象限角时，； 当x是第四象限角时，， 故函数的值域为{－1，3}。 【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。 类型三：诱导公式一的应用 例3．（1）； （2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。 【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。 【答案】（1）（2）2 【解析】（1）原式 。 （2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=. 【总 ... ...