两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【学习目标】 1．能以两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【典型例题】 类型一：两角和与差的三角函数公式的正用 例1．已知，，且、均为第二象限角，求、和。 【思路点拨】利用同角三角函数关系式确定、的值，然后利用两角和与差的正弦、正切公式求值。 【答案】 【解析】 ∵，，且、均在第二象限， 故， ， 故 。 。 = = 【总结升华】已知，的某种三角函数值，求的正弦和正切，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值。求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值。 举一反三： 【变式1】已知，，，是第三象限角，求、的值。 【答案】 【解析】 由，得 ， 又由，为第三象限角得 ， ∴， 。 例2．（1）已知，，且，求以及的值； （2）已知，，求，的值。 【思路点拨】（1）分析所给的两个已知角和所求的角、之间有关系、。（2），。 【答案】（1）1/3 1（2） 【解析】（1）， 。 ∵，，， ∴，。 ∴，∴。 （2）。 。 【总结升华】 已知三角函数值求角，要对所给角的范围进行讨论，尽量化到它的一个单调区间上，必要时可对角的范围进行适当的缩小。 举一反三： 【变式1】（1）求的值； （2）已知求的值。 【答案】（1）（2） 【解析】 （1） = (2), 又 = = 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为。 （1）求的值； （2）求的值。 【答案】（1）（2） 【解析】 由三角函数定义可得， 又因为为锐角，所以因此 （1）； （2）所以， 为锐角， 类型二：两角和与差的三角函数公式的逆用及变形应用 例3。计算下列各式的值： （1）sin163°sin223°+sin253°sin313°； （2）； （3）。 【思路点拨】注意两角和差公式的逆用和变形。 【解析】 （1）sin163°sin223°+sin253°sin313° =sin163°sin223°+sin(163°+90°)sin(223°+90°) =sin163°sin223°+cos163°cos223° =cos(223°－163°)=cos60°=. （2）。 （3） 。 【总结升华】三角变换的一般规律：看角的关系、看函数名称、看运算结构。以上题目是给角求值问题，应首先看角的关系：先从所给角的关系入手，观察所给角的和、差、倍（下一节学习）是否为特殊角，然后看包含的函数名称，以及所给三角式的结构，结合三角公式，找到题目的突破口。公式的变形应予以灵活运用。 举一反三： 【变式1】求值： 【解析】原式== 【变式2】求下列各式的值： （1）；（2） 【解析】（1）原式=； （2）原式= = = =1 【变式3】化简：。 【解析】 原式 。 类型三：两角和与差的三角函数在三角形中的应用 例4．在锐角△ABC中，求证： （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC； （2）。 【思路点拨】注意三角形内角和这一隐含条件的运用。 【证明】 （1）因为A+B+C=π，所以A+B=π－C，所以tan（A+B）=tan（π－C），所以，整理得：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 （2）因为A、B、C是△ABC的三个内角，所以A+B+C=π，从而有。 左边 右边。 所以原式成立。 【总结升华】本题主要考查两角和正切公式的应用。三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经何种形式联系起来（如本题中A+B+C=π）；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一。例如（2），由于右边为常数，左边经过提取、变形展开必能各项相消。 举一反三： 【变式1】已知，求证： 【证明】 ... ...
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