三角恒等变换综合 【学习目标】 1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】 【典型例题】 类型一：正用公式 例1．已知:，求的值. 【思路点拨】因为不知道角所在的象限，所以要对分别讨论求的值． 【解析】由已知可求得. 当在第一象限而在第二象限时， . 当在第一象限而在第三象限时， . 当在第二象限而在第二象限时， . 当在第二象限而在第三象限时， . 【总结升华】分类的原则是：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论要逐级进行．掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的． 举一反三： 【变式1】已知，求的值． 【答案】 【解析】 ． 例2．已知，，，，求的值． 【思路点拨】注意到，应把看成整体，可以更好地使用已知条件．欲求，只需求出． 【答案】 【解析】∵ ， ∴， ∵ ， ∴． ∴ 【总结升华】 （1）解题中应用了式子的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,, 等. （2）已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用. 举一反三： 【变式1】已知 【思路点拨】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） 【答案】 【解析】∵，∴ ∴ ∴＝ 【变式2】已知求的值． 【答案】 【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系） ∵，∴ ∴ 又 ∴ ∴ ＝ 于是有. 类型二：逆用公式 例3.求值： （1）； （2）. 【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化简再计算． （1）利用将视为,将视为，则式子恰为两角和的正切. 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）原式； （2）原式= . 【总结升华】 （1）把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”． （2）辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. 举一反三： 【变式1】化简： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 （1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝ 【变式2】已知，那么的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】∵， ∴. 例4. 求值： （1）；（2） 【思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积．方法是分子分母（分母视为1）同乘以最小角的正弦． 【答案】（1）1/4 （2）1/8 【解析】 （1）原式=； （2）原式= 【总结升华】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③最大角的2倍与最小角的和与差是(．三个条件缺一不可．另外需要注意2的个数．应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法． 举一反三： 【变式】求值：． 【答案】1/8 【解析】 原式= = =． 类型三：变用公式 例5．在中，求值： 【答案】1 【解析】∵，∴，∴ ∴原式= 例6. 化简： （1）；(2） 【思路点拨】 （1）题中首先“化切为弦”，同时用好“”和“”的互余关系，注意逆用和角公式化简； （2）题初看有“化切为弦”，“降幂”等诸多想法，但首先应注意到这个关系． 【答案】（1）1（2）1 【解析】 （1）原式 = （2）原式= 【总结升华 ... ...
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