复数的几何意义 【学习目标】 1.理解复数的几何意义； 2.理解复数加、减运算的几何意义； 3.对复数加、减运算的几何意义能简单运用。 【要点梳理】 要点一、复数的两种表示形式 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 要点诠释： 复数复平面内的点平面向量 要点二、复数加、减法的几何意义 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量.对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量. 说明：设复数z1=a+bi，z2=c+di，（）在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为=(a，b)，=(c，d)以、为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是， 由于= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)，所以和 的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量 类似复数加法的几何意义，由于z1－z2=(a－c)+(b－d)i，而向量= =(a，b)-(c，d)=(a-c，b-d)，所以和 的差就是与复数(a－c)+(b－d)i对应的向量. 要点三、复数的几何意义的应用 要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面： 1.利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 2.反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。 【典型例题】 类型一、复数的几何意义 例1 .实数x满足什么条件时，复数所对应的点Z在第三象限？ 【思路点拨】确定点Z在哪个象限，就是看点Z的实部和虚部的正负。 【解析】若点Z在第三象限，则有 举一反三： 【变式1】已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. (1)|z－(1+2i)|； (2)|z－1|； (3)|z+2i|； (4)已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|<1,则z所对应的点的集合是什么图形? 【答案】(1) 点A与点（1,2）之间的距离； (2) 点A与点（1,0）之间的距离； (3) 点A与点（0,-2）之间的距离； (4)以点（2，-3）为圆心，1为半径的圆的内部。 类型二、复数加减法的几何意义 例2. 如图所示，已知复平面内的正方形ABCD的三个顶点A（1，2），B（―2，1）， C（―1，―2），求D点对应的复数。 【思路点拨】根据点D的位置，利用解析几何的方法确定D对应的复数的实部与虚部。 【解析】 解法一：设D（x，y），则。 。 因为， ∴（x―1，y―2）=（1，―3），得。 ∴D点对应的复数为2―i。 解法二：∵A，C关于原点对称，∴O为正方形ABCD的中心。 设D（x，y），则B，D关于O点对称，即，得。 ∴D点对应的复数为2―i。 【总结升华】在平面几何图形中，结合向量的运算法则的几何意义，以复数加减法的几何意义为媒介，实现量之间的转化，进而求相关问题． 举一反三： 【变式1】若在复平面上的ABCD中，对应的复数为6+8i，对应的复数为―4+6i，则对应的复数是____。 【答案】 由复数加减法的几何意义可得， 其对应的复数为 。 【变式2】 已知为纯虚数，则复数z在复平面中对应的点Z组成什么图形？ 【答案】设， 则 所以即（）. 以为圆心，为半径的圆去掉原点和后剩下的部分. 类型三、复数的几何意义的综合应用 例3. 说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。 【思路点拨】判断复数Z所表示的曲线，抓住复数以及模的几何意义即可。 【解析】原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a. 几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0),F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。 (1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。 (2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1F2。 (3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。 举一反三： 【变式1】若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点，则P与Q之间的距离为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】|Z|=2表示的是圆心在原点、半径为2的圆。直线即直线，所以这是一个直线与圆相交的弦长 ... ...
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