函 数 【基础知识】 1. 函数的定义：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.记作：， ，其中叫自变量，的取值范围叫做函数的定义域. 2. 当函数的解析式确定，求函数的定义域，常有以下几种情况： 如果是整式，那么函数的定义域是实数集;如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合； 如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合； 如果是有几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分都有意义的实数的集合的交集）. 3. 复合函数(抽象函数)的定义域的求法 【典型例题】 例1 判断下列函数与是否表示同一个函数，说明理由？ ； ； ； ； 例2 求下列函数的定义域： ； 例3 复合函数的定义域的求法： 已知函数的定义域为，求函数的定义域. 已知函数的定义域为，求函数的定义域. 已知函数的定义域为，求函数的定义域. 例4 已知函数的定义域为，求实数的取值范围. 【课后练习】 1. 求下列函数的定义域： 2. 求下列函数的定义域. 设的定义域是，求函数的定义域 已知的定义域为，求的定义域. 若函数的定义域为，则的定义域为 . 若函数的定义域为，则的定义域为 . 若函数的定义域为，则的定义域为 . 函数的解析式 【基础知识】 1、常用的函数的表示方法：解析法、列表法、图象法. 2、把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式. 3、求函数的解析式是函数的常见问题,也是高考的常规题型之一，常见的求函数解析式的方法：待定系数法；代入法；换元法；构造方程的方法等. 【典型例题】 1、待定系数法：当函数的类型已知时，用待定系数法；先设出函数的一般形式，代入已知条件，在一步步求出未知数. 例1 已知二次函数满足，，图象过原点，求； 已知二次函数，其图象的顶点是，且经过原点,． 练习： . 已知是一次函数，且满足，求； . 设二次函数满足,且图象在轴上截距为,在轴上截得的线段长为,求的表达式. 2、代入法：已知求，常用“代入法”；将函数中的用来代替，得表达式． 例2 根据已知条件，求函数表达式． 已知，求． 已知，，求和. 练习： 1.设函数，则= . 2. 已知函数，求. 3、配凑法与换元法：已知求的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围． 例3 已知，求. 已知，求． 练习： 已知，求； 已知, 求的解析式. 已知, 求的解析式. 4、构造方程法：已知与，或与之间的关系式，求的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去或，解出. 例4 已知满足，求. 练习：设函数是定义在上的函数,满足关系式,求的解析式. 【课后练习】 1. 若,则 2. 已知函数满足且,则= 3. 已知,则 . 4. 若，，，则 = . 5. 若，则= ；= ；= . 若，则= . 若，，则= . 6. 函数，,求，,,. 7． 设是定义在上的函数,若,且对任意的都有：, 求. 函数的值域 【基础知识】 1. 求函数值域的问题关键是将解析式化简，同时注意函数的定义域. 2. 研究函数的值域常用的方法有：直接法，图像法，换元法，分离常数法，判别式法，换元法等. 常见的观察法（主要是指式子特征较明显或定义域确定的函数），配方法（二次函数或可以转化为二次函数的类型），换元法（某些无理函数类型，如），判别式法（形如），分段函数讨论法，数形结合法. 注意：在进行换元法求解函数值域的时候，特别注意换元后的未知数的范围. 【典型例题】 例1 求下列函数的值域： 例2 已知函数，若求函数的最值. 【课后练习】 1. 求下列函数的值域. ； ； ； ... ...
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