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课件网) 3．3 幂函数 1．理解幂函数的概念． 2．掌握y＝xα(α＝－1，，1,2,3)的图象与性质． 3．理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题． 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见幂函数的图象与性质 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 1．y＝2x2和y＝－是幂函数吗？ [答案] 不是 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( ) (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) (4)当α>0时，y＝xα是增函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 题型一幂函数的概念 【典例1】 (1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是( ) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ (2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域． [思路导引] 紧扣幂函数的定义求解． [解析] (1)幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．故选C. (2)∵y＝(m2－m－1)x m2－2m－3为幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0； 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0. 故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}． [答案] (1)C (2)见解析 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. [针对训练] 1．下列函数中不是幂函数的是( ) A．y＝ B．y＝x C．y＝22x D．y＝x－1 [解析] 函数y＝22x＝4x不是幂函数，故选C. [答案] C 2．若幂函数f(x)满足f(9)＝3，则f(100)＝_____. [解析] 设f(x)＝xα，由f(9)＝3，得9α＝3， ∴α＝，∴f(x)＝x， ∴f(100)＝100＝10. [答案] 10 题型二幂函数的图象与性质 【典例2】 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间． [思路导引] 求出α，结合图象确定定义域和值域． [解] 由f(2)＝，得2α＝， 解得α＝－2，所以f(x)＝x－2. f(x)的图象如图所示，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)． [变式] (1)本例条件不变，试判断f(x)的奇偶性． (2)本例中点P变为，判断函数f(x)的奇偶性与单调性． [解] (1)由f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x)， 得f(x)是偶函数． (2)由f(8)＝，得8α＝，解得α＝－，所以f(x)＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数． 解决幂函数图象问题应把握的2个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断． [针对训练] 3．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( ) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－ ... ...
