任意角的三角函数概念 (1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是_____． (2)函数y＝＋的定义域是_____． 思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负． (2)利用三角函数线求解． (1)或－ (2) [(1)r＝|OP|＝＝5|m|. 当m>0时，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，∴2sin α＋cos α＝. 当m<0时，sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，∴2sin α＋cos α＝－. 故2sin α＋cos α的值是或－. (2)由得 如图，结合三角函数线知： 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数的定义域为 .] 三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面： ?1?任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. ?2?任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域. 1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－，y)，且sin α＝y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值； (2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． [解] (1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝，∴sin α＝＝＝y. ∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝， ∴y＝±. ∴点P在第二或第三象限． 当点P在第二象限时，y＝，cos α＝＝－，tan α＝－. 当点P在第三象限时，y＝－，cos α＝＝－， tan α＝. (2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)， 则r＝＝＝|k|. 当k>0时，r＝k. ∴sin α＝＝－，＝＝. ∴10sin α＋＝－3＋3＝0. 当k<0时，r＝－k. ∴sin α＝＝，＝＝－. ∴10sin α＋＝3－3＝0. 综上，10sin α＋＝0. 同角三角函数的基本关系与诱导公式 已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求： (1)＋； (2)m的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 思路点拨：先利用根与系数的关系得到sin θ＋cos θ与sin θcos θ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解． [解] 由根与系数的关系，得 sin θ＋cos θ＝，sin θcos θ＝. (1)原式＝＋＝＋＝－＝sin θ＋cos θ＝. (2)由sin θ＋cos θ＝，两边平方可得1＋2sin θcos θ＝，1＋2×＝1＋，m＝. (3)由m＝可解方程2x2－(＋1)x＋＝0， 得两根和.∴或 ∵θ∈(0,2π)， ∴θ＝或. 同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：?1?化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.?2?化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.?3?“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式. 2．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若f(α)＝，且<α<，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． [解] (1)f(α)＝＝sin α·cos α. (2)由f(α)＝sin α·cos α＝可知，(cos α－sin α)2＝cos2α－2sin α·cos α＋sin2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×＝. 又∵<α<，∴cos α0，A>0,0<φ<的周期为π，f＝＋1，且f(x)的最大值为3. (1)写出f(x)的表达式； (2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程及单调区间； (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值． 思路点拨：(1)由T＝求ω，由f(x)的最大值为3求A，由f＝＋1，求φ. (2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x的单调区 ... ...
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