专题二 等腰三角形的存在性问题 【考题研究】 近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。 【解题攻略】 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法． ①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么 ；③如图3，如果CA＝CB，那么 ． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 【解题类型及其思路】 解题类型： 动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题 背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景 解题思路： 几何法一般分三步：分类、画图、计算；代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 【典例指引】 类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】 典例指引1． 抛物线与轴交于点A，点B（1，0），与轴交于点C（0，﹣3），点M是其顶点． （1）求抛物线解析式； （2）第一象限抛物线上有一点D,满足∠DAB=45°,求点D的坐标； （3）直线 (﹣3＜＜﹣1)与x轴相交于点H．与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形. 【举一反三】 （2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 类型二 【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】 典例指引2． （2019·山东初三期末）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点. （l）求抛物线的表达式； （2）如图l，若点为第二象限抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标； （3）如图2，在轴上是否存在一点使得为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 【举一反三】 （2019·广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（2，0），B（﹣8，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣8）． （1）求抛物线的解析式； （2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 类型三 【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】 典例指引3． （2018济南中考）如图1，抛物线平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称 ... ...
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