专题九 动态几何定值问题 【考题研究】 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要 “以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 【解题攻略】 动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明. 【解题类型及其思路】 在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。 【典例指引】 类型一 【线段及线段的和差为定值】 【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E． （1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F． ①写出旋转角α的度数； ②求证：EA′+EC＝EF； （2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号） 【举一反三】 如图（1），已知∠,点为射线上一点，且，、为射线和上的两个动点（），过点作⊥，垂足为点，且，联结． （1）若时，求的值； （2）设，求与之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点作的垂线，垂足为点，交射线于点，点、在射线和上运动时，探索线段的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含x的代数式表示的长． 类型二 【线段的积或商为定值】 【典例指引2】如图①，矩形中，，，将绕点从处开始按顺时针方向旋转，交边（或）于点，交边（或）于点.当旋转至处时，的旋转随即停止. （1）特殊情形：如图②，发现当过点时，也恰好过点，此时是否与相似？并说明理由； （2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （3）拓展延伸：设时，的面积为，试用含的代数式表示； ①在旋转过程中，若时，求对应的的面积； ②在旋转过程中，当的面积为4.2时，求对应的的值. 【举一反三】 如图1,已知直线y＝a与抛物线交于A、B两点(A在B的左侧),交y轴于点C (1)若AB＝4,求a的值 (2)若抛物线上存在点D(不与A、B重合),使,求a的取值范围 (3)如图2,直线y＝kx＋2与抛物线交于点E、F,点P是抛物线上的动点,延长PE、PF分别交直线y＝－2于M、N两点,MN交y轴于Q点,求QM·QN的值。 图1 图2 类型三 【角及角的和差定值】 【典例指引3】如图，在△ABC中，∠ABC＞60°，∠BAC＜60°，以AB为边作等边△ABD（点C、D在边AB的同侧），连接CD． （1）若∠ABC90°，∠BAC30°，求∠BDC的度数； （2）当∠BAC2∠BDC时，请判断△ABC的形状并 ... ...
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