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课件网) 数列通项公式的求法 人教A版必修5第二章章末总结 课题导入 在进行数列问题的讨论时，数列的通项公式的讨论与求解是我们解题的关键环节，如何能正确的求出数列的通项公式？我们这节主要学习一下数列的通项公式的求法 目标引领 1：掌握求数列通项公式的方法和技巧 2：能根据数列的前N项和求出数列的通项公式 3：能利用所给的递推公式求出数列的通项公式 独立自学 1：回顾等差数列的通项公式的推导方法 2：回顾等比数列的通项公式的推导方法 3：回顾数列的前N项和的概念 考点一：由数列的递推公式求通项公式 例1：在数列 中，已知 当 时 ，求数列 的通项公式。 分析：类似于等差数列的通项公式的推导方法，形如 ，此时我们往往利用累加法求数列的通项公式。 引 导 探 究 解：因为 所以 则各式相加即可得到 又由 所以 例2：在数列 中，已知 当 时 ，求数列 的通项公式。 分析：类似于等比数列的通项公式的推导方法，凡是递推公式形如 ，我们往 往利用累乘法求其通项公式。 解：因为当 时， 则 把各个式子相乘可以得到： 即 又因为 所以 例3：在数列 中， ，当 时，有 ，求数列 的通项公式。 分析：在形如 时，我们往往利用构造法求数列的通项公式，有时构造成等差数列，有时利用等比数列，在进行数列的构造时，如果一下子看不出来，可以利用待定系数法来进行求解。 变式1：设在数列 中， ， 求数列 的通项公式。 分析：与例3不同，这时 不是一个常数，而是关于N的一次式，这是我们在进行构造数列时，所构造的数列应当是 思考：如果 是一个二次式，应当如何进行构造？ 变式2：在数列中， ，当 时，有 ，求数列 的通项公式。 分析：当 是指数式时，我们在构造的时候可以在等式两边同时除以指数式，然后利用例题的方法求出数列的通项公式。 解：当 时， 等式两边同时除以 ，则原式可化为 令 则 利用待定系数法可得 所以数列 是以首项为 公比为 的等比数列，则 所以 考点二：由数列的前N项和求出数列的通项公式。 例1：已知数列 的前N项和为： 求数列 的通项公式 分析：在由数列的前N项和求通项公式时，我们往往通过三个步骤来进行， （1）当 时， （2）当 时， （3）检验 是否满足第二步所求的通项公式， 若满足就合在一起，若不满足，就利用分段数列来写 解：当 时， 当 时， 显然： 并不满足所求出来的通项公式 所以 例2：已知数列 的前N项和为 ， 满足 ， 求数列 的通项公式。 分析：与上题的区别就在于这个式子的前面并不是 ，但是与 很相似，仍然是一个数列（但不是数列 ）的前N项和的形式，所以用的方法也是类似的， 解：当 时， 当 时， 两式相减即可得到： 即 显然 并不满足所求的通项公式 所以： 例3：例1：已知数列 的前N项和为 ，满足 ， 求数列 的通项公式 分析：在这个题目中，给出了 与 的关系式，求解时要注意的是，我们利用上面的解题方法得到的是关于 的递推公式，然后才能求出数列的通项公式。 解：当 时： 当 时， 两式相减： 即 注意：这时候还不能说 是等比数列，因为这个关系式是在 时求出来的，所满足的关系的第一个式子是 还要验证 与 是否满足同样的关系 又因为 所以数列 是以首项为1公比为3的等比数列，则 考点三：证明法求数列的通项公式 例1：数列 满足 （1）设 ，证明： 是等差数列 （2）求 的通项公式。 分析：在解题时我们可能会遇到一些我们没有见过的形式，这时候为了有利于解题，往往在题目中有一些提示———证明等差（等比）数列，这时我们可以利用等差等比数列的定义来进行证明，然后再求数列的通项公式。 （1）证明：因为 所以 =2 则数列 是以 公差为2的等差数列 （2）由（1）可得 利用前面所学的累加法可得 各式进行 ... ...
