7.2.3 同角三角函数的基本关系式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养． 2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1. 商数关系：＝tan_α. (2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？ [提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等． 1.已知α∈，sin α＝，则tan α＝( ) A．－ B．2 C． D．－2 A [∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－＝－， 则tan α＝＝－，故选A．] 2.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( ) A．－ B．－ C． D． B [∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝， ∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.] 3.若sin α＋3cos α＝0，则的值为_____． － [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此 原式＝＝＝－.] 已知一个三角函数值求另两个三角函数值 【例1】(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值； (2)若cos α＝，求tan α的值； (3)若tan α＝－，求sin α的值． [思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果． [解](1)∵sin α＝－，α是第三象限角， ∴cos α＝－＝－， tan α＝＝－×＝. (2)∵cos α＝>0， ∴α是第一、四象限角． 当α是第一象限角时， sin α＝＝＝， ∴tan α＝＝； 当α是第四象限角时， sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝－. (3)∵tan α＝－<0， ∴α是第二、四象限角． 由可得sin2α＝. 当α是第二象限角时，sin α＝； 当α是第四象限角时，sin α＝－. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法： (1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系； (2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果． 1.已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值． [解] 法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝， ∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±. 同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝. ∵sin αcos α＝－<0,0<α<π， ∴<α<π， ∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝. 由， 得或， ∴tan α＝－或tan α＝－. 法二：∵sin αcos α＝－， ∴＝－， ∴＝－， ∴12tan2α＋25tan α＋12＝0， ∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0， ∴tan α＝－或tan α＝－. 化切求值 【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)； (2)； (3)sin2α＋cos2α. [解](1)原式＝＝＝. (2)原式＝＝＝－. (3)原式＝＝＝＝. 化切求值的方法技巧 ?1?已知tan α＝m，可以求 或 的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的. ?2?对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值. 2.已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)； (2)4sin2α－3sin αcos α－5c ... ...
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