中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第九讲 课题 反三角函数与最简三角方程 单元 第六章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1．理解不存在反函数，理解反正弦函数的概念，了解其图像和基本性质，会用反正弦函数值表示角的大小； 2．熟练掌握最简三角方程的解集；； 3．会写出三角方程的解集；会求三角方程，，的解集；4．会把简单的三角方程通过三角函数与代数式恒等变形为最简三角方程，会用数形结合等数学思想分析和思考问题。 重点 1、熟练掌握反正弦、反余弦和反正切函数的基本性质和图像；2．熟练掌握最简三角方程的解集； 难点 会对形如：，，等三角方程求解 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、反三角函数的图像与性质 反三角函数 定义域 值域 图像 最值 时，时， 时，时， 无 单调性 增 减 增 奇偶性 奇 非奇非偶 奇 三个重要等式 2、最简单三角方程的解集： 方程 方程的解集 一、反三角函数的定义 【例1】求下列反三角函数的值： （1）；（2）；（3）（4）；（5）； （6）；（7） 【难度】★ 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） 【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】；；； 【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知，用反正弦的形式表示； （2）已知，用反余弦的形式表示； （3）已知，用反正切的形式表示； 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略 【例4】关于的方程有两个不同的实数根，求函数的反函数． 【难度】★★ 【答案】， 【解析】由，得，解得 函数，的值域为 由，且，有， 即 将与互换得到原函数的反函数为：， 【巩固训练】 1．求下列反三角函数的值： 1） 2） 3） 4）（-） 5） 6）（-） 【难度】★ 【答案】（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 2．用反正弦函数值表示下列式子中的： （1），； （2）， （3）， 是第一象限角； （4）， 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3），； （4）或，． 3．函数的反函数为 （ ） 【难度】★★ 【答案】D 【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下： 由反正先函数的定义，得：，又，故反函数为： 4．已知，根据所给范围用反余弦函数值表示： 1 为锐角 2 为某三角形内角 3 为第二象限角 4 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）不存在；（4） 5． 1）已知，求． 2）已知且，求的取值集合． 3）已知且，求的取值集合． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）或； （3）或． 6．下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）的反函数是 （2）的反函数是 （3）的反函数是 A.0个 B.1个 C.2个 D. 3个 【难度】★★ 【答案】 二、反三角函数的图像与性质 1、反三角函数的图像应用 【例5】下列命题中正确的是 ①函数与互为反函数；②函数与都是增函数； ③函数与都是奇函数；④函数与都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③ 【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小： （1）与；（2）与；（3）与 【难度】★ 【答案】（1）；（2）； （3），，， 【例7】求解下列不等式中的范围： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）（3）；（4） 【例8】求下列函数的反函数： （1），； （2）（） （3）； （4） 【难度】★★★ 【答案】（1）反函数为，；（2）反函数为，； （3）反函数为，；（4）反函数为，． 【巩固训练】 1．若，则的取值范围是 ． 【难度】★ 【答案】 2．解不等式 ... ...
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