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课件网) 1.5 定积分的概念 求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法 (2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。 (3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值： xi xi+1 xi 定积分的定义 当n?∞时，Sn 就无限接近某个常数S， 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”: 分割--近似代替--求和--取极限得到解决. 定积分的定义： 定积分的相关名称： ? ———叫做积分号， f(x) ———叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。 积分下限 积分上限 说明： (1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即 (2) 例1：利用定积分的定义,计算 的值. 2.定积分的几何意义： x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当f(x)?0时，由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方， 上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义： 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 定积分的定义： 1 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2-1 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x -1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x -1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 解： 0 0 0 0 a y x y x y x y x -1 2 a b -1 2 f(x)=x2 f(x)=x2 f(x)=1 f(x)=(x-1)2-1 例3 利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。 利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立： 1）． 2）. 1）． 2）. 练习： 试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。 0 y x y=x2 1 2 0 x y=f(x) y=g(x) a b y 3. 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 定积分关于积分区间具有可加性 性质3. 例4： 解： x y f(x)=sinx 1 -1
