2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章章末复习课Word版含解析

求值问题 　已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值． 思路点拨：由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos[(α＋β)－α]展开求解． [解]　因为α，β均为锐角， 所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－， 所以＜α＋β＜π， 且sin(α＋β)＝.因为tan α＝4， 所以sin α＝，cos α＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝. 三角函数求值主要有三种类型，即 ?1?“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式. ?2?“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围. ?3?“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围. 1．已知sinsin＝，α∈，求的值． [解]　∵sinsin＝， ∴sincos＝， sin＝，即cos 2α＝. 又α∈，2α∈(π，2π)， ∴sin 2α＝－ ＝－＝－. ∴＝ ＝＝－. 化简与证明 　求证：＝. 思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式． [证明]　证明原不等式成立，即证明 1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立． ∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ) ＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ) ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ) ＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ ＝sin 4θ＋1－cos 4θ. ∴＝. 三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则 ?1?一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式. ?2?二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”. ?3?三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向. 2．化简：. [解]　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 三角恒等变换的综合应用 　设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解． [解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，从而sin x＝，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 当x＝∈时，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值为. 1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． 2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性． 3．已知函数f(x)＝cos2－sincos－. (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值． [解]　(1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cos x)－sin x－＝cos. 所以f(x)的最小正周期为2π，值域为. (2)由(1)知f(α)＝cos＝， 所以cos＝. 所以sin 2α＝－cos ＝－cos ＝1－2cos2＝1－＝. 转化与化归思想在三角变换中的应用 【例4】　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值． [解]　∵tan α＝＞0， ∴α∈，2α∈(0，π)， ∴tan 2α＝＝＝＞0， ∴2α∈， 又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)， ∴β∈， ∴tan(2α－β)＝ ＝＝1， 又∵2α∈，β∈， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π. 在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、 ... ...