2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第1章1.21.2.3　 　直线与平面垂直Word版含解析

第2课时　直线与平面垂直 学 习 目 标 核 心 素 养 1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点) 2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点) 3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点) 4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点) 通过学习本节内容来提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 1．直线与平面垂直的定义 如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α．直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足． 图形表示： 2．直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面  a⊥α 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 ?a∥b 4.距离及直线与平面所成的角 (1)距离 ①点到平面的距离 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． ②直线和平面的距离 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离． (2)直线与平面所成的角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． 1.思考辨析 (1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α. (　　) (2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行． (　　) (3)若a∥b，aα，l⊥α，则l⊥b. (　　) (4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　) A．l与平面α内的两条直线垂直 B．l与平面α内的无数条直线垂直 C．l与平面α内的某一条直线垂直 D．l与平面α内的任意一条直线垂直 D　[由直线与平面垂直的定义及判定定理知D正确．] 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝1，则点C到平面B1BDD1的距离为_____，AB到平面A1B1CD的距离为_____． 　　[连结AC，BD，则AC⊥BD，又BB1⊥AC，故AC⊥平面B1BDD1，所以点C到平面B1BDD1的距离为AC＝，AB到平面A1B1CD距离等于A到该平面的距离，等于.] 4．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_____． 45°　[∵PA⊥平面ABC， ∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角， 在Rt△PAB中，PA＝AB， ∴∠PBA＝45°.] 线面垂直的定义及判定定理的应用 【例1】　如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC. 思路探究：只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可． [证明]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC. 1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法． 2.线线垂直与线面垂直的转化关系 线线垂直线面垂直 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O. [证明]　∵E，F分别是棱AB，BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC. ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，EF平面ABCD， ∴EF⊥BB1. 又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O. 线面垂直性质定理 ... ...