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课件网) 知识回顾 学过的函数： 一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数 f（x）=ax2+bx+c f（1）= a+b+c f（-1）= a-b+c f（2）= 4a+2b+c 方程组： 导入新课 今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 你能算出来吗？ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 . 你知道有多少只鸡吗？ 你能够解决以上的问题，求出数值吗？要解决以上的问题穷举法显然是不可能的，这就涉及到我们今天要学习的知识，拉格朗日插值法、孙子定理. 第五节 拉格朗日插值和孙子定理 第二讲 同余与同余方程 教学目标 知识与能力 1.理解一次同余式组的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙子定理的过程. 3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解. 过程与方法 情感态度与价值观 1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人，树立远大理想和目标. 1.先阅读案例，探究解决问题的算法. 2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题. 教学重难点 重点 1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.孙子定理的推导过程. 3.用孙子定理解一次同余方程. 难点 建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理. 孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，问这个数是几? m=3x+2 x≡2（mod3） 相当于解方程组 m=5y+3 即 x≡3（mod5） m=7z+2 x≡2（mod3） 同余方程组 为了能更方便的求解方程组我们将学习拉格朗日插值法. 我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要我们知道其上的三个值如（x1，f（x1））， （x2，f（x2））， （x2，f（x2）），就能得到要求的多项事.一种更一般的拉格朗日插值法. 1）求多项式p（x）,使p（x1）=1,p(x2)=0,p(x3)=0 2）求多项式q（x）,使q（x1）=0,q(x2)=1,q(x3)=0 3）求多项式r（x）,使r（x1）=0,r(x2)=0,r(x3)=1 若选取p（x）=c（x-x2）（x-x3），其中c为常数. 显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可求得c为 (x1 - x2)（ x1 – x3）的倒数. 求得 同理得 设a，b，c两两不同那么满足f(a)=e，f(b)=f ， f（c）=g的一个多项式可用 f(x)=e· p(x)+f · q(x)+ g · r(x) (Ⅰ) 其中 （Ⅱ） 上面的公式（Ⅰ）和（Ⅱ）叫做拉格朗日公式.用类似方法解决孙子算经的物不知其数问题. 1）求整数p,使p≡1（mod3）, p ≡0（mod5）, p≡0（mod7）. 求整数q,使q≡0（mod3）, q ≡1（mod5）, q≡0（mod7）. 求整数r,使r≡0（mod3）, r ≡0（mod5）, r≡1（mod7）. 2）作整数k=2×p+3×q+2×r，这个k使同余式都成了.此时x≡k（mod3×5×7）现在的焦点就是如何求p、q、r. 由于p≡0（mod5），p ≡1（mod7） 故 5︱p，7︱p，于是p=5×7×c，c为整数再由p≡1（mod3）即5×7×c ≡1（mod3） 若c=2，则p=70.同理求得q=21，r=15. 所以k=233，x ≡233≡23（mod105）. 此求同余方程组的方法即孙子定理. 孙子定理 设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组 x≡e（moda）， x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1，c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数. 课堂小结 一、一次同余式组： x≡e（moda） x≡f（modb） x≡g（modc） 二、拉格朗日插值公式： f(x)=e· p(x)+f · q(x)+ g · r(x) 三、孙子定理： 设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任意整数，则同余方程组 x≡e（moda） x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+fa ... ...
