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课件网) 构造全等三角形的四种常用方法 第1章 三角形的初步认识 浙教版 八年级上 答案显示 习题链接 (1)证明见习题 (2)1＜AD＜4. EF＝BE＋FD，证明见习题 证明见习题 证明见习题 【例】如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC，试猜想∠A与∠C有什么关系？并说明理由． 【解题秘方】添加辅助线，构造全等，找到一些量之间的关系，使问题得以解决． 解：∠A＋∠C＝180°，理由如下： 如图，在线段BC上取一点E，使EB＝AB，连结DE. 1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 证明：如图，延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE) ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 2．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连结DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. 【点拨】本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键． 证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G，则∠CBG＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠2＋∠ACF＝90°. ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°， ∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°. ∴∠1＝∠2. 3．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC >2AD； 证明：延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE. ∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB，∴△ADC≌△EDB. ∴AC＝EB. ∵AB＋BE＞AE，∴AB＋AC＞2AD. (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 证明：∵AB－BE＜AE＜AB＋BE， ∴AB－AC＜2AD＜AB＋AC. ∵AB＝5，AC＝3， ∴2＜2AD＜8. ∴1＜AD＜4. 【点拨】本题运用了倍长中线法构造全等三角形，将证明不等关系和求线段取值范围的问题通过证全等，转化到一个三角形中，利用三角形的三边关系来解决． 4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明． 【点拨】证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”和“补短法”．“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段． 解：EF＝BE＋FD. 证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG. ∵∠ADC＝90°， ∴∠ADG＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠ADG.
