2020年广州市高三第一次模拟考试理科数学试题与参考答案(pdf)

理科数学试题 A 第 1 页 共 15 页 绝密 ★ 启用前 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题答案及评分参考 评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D D B C B C A C B C B 二、填空题 13． 3 3 ? ，3? 14．5 15． 10? 16．16 说明：第13题中第1个空2分，第二个空3分． 三、解答题 17．解：（1）根据正弦定理 sin sin sin a b c A B C ? ? ， 得 2 2 2 3 abc a b c ? ? ? ． 因为 3c ? ，所以 2 2 2ab a b c? ? ? 【或 2 2 3ab a b? ? ? 】． 由余弦定理，得 2 2 2 1 cos 2 2 a b c C ab ? ? ? ? 【或 2 2 3 1 cos 2 2 a b C ab ? ? ? ? 】， 因为0 C? ? ?，所以 3 C ? ? ． 理科数学试题 A 第 2 页 共 15 页 （2）由已知与（1）知 3c ? ， 3 C ? ? ． 由正弦定理 sin sin sin a b c A B C ? ? 3 2 sin 3 ? ? ? ， 得 2sina A? ， 2 2sin 2sin 3 b B A ?? ? ? ? ?? ? ? ? ． 所以 2b a? 2 2sin 4sin 3 A A ?? ? ? ? ?? ? ? ? 5sin 3 cosA A? ? ? ?2 7 sin +A ?? （其中 3 tan 5 ? ? ，0 2 ? ? ? ? ）． 因为 2 0 3 A ? ? ? ，0 6 ? ? ? ? ，所以 5 0 6 A ? ? ? ? ? ． 所以 = 2 A ? ? ? 时， ? ?2 2 7 sin +b a A ?? ? 取得最大值2 7 ． 所以 2b a? 的最大值为2 7 ． 18．解：（1）设从该市参与马拉松运动训练的人中随机抽取一个人，抽到的人刚好是“平均 每月进行训练的天数不少于20天”记为事件为 A ， 则 ? ? 25 1 100 4 P A ? ? ． 设抽到的人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为? ， 则 1 4 4 B? ? ? ? ? ? ? ， ． 所以恰好抽到2 个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率为 ? ? 2 2 2 4 3 1 27 2 C 4 4 128 P ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ． （2）用分层抽样的方法从100个马拉松训练者中抽取12个，则其中“平均每月进行训练 的天数不少于20天”有3个． 理科数学试题 A 第 3 页 共 15 页 现从这 12 人中抽取3个，则“平均每月进行训练的天数不少于20天”的数量Y 服从超 几何分布，Y 的所有可能的取值为0 ，1， 2 ，3． 则 ? ? 0 3 3 9 3 12 C C 21 0 C 55 P Y ? ? ? ， ? ? 1 2 3 9 3 12 C C 27 1 C 55 P Y ? ? ? ， ? ? 2 1 3 9 3 12 C C 27 2 C 220 P Y ? ? ? ， ? ? 3 0 3 9 3 12 C C 1 3 C 220 P Y ? ? ? ． 所以Y 的分布列如下： Y 0 1 2 3 P 21 55 27 55 27 220 1 220 所以 ? ? 27 2721 1 165 3 0 1 2 3 = 2255 55 220 22 40 0 E Y ? ? ? ? ? ? ? ? ? ． 19．（1）证明 1：在图1中，因为△ ABC为等边三角形，且 D 为边 AC 的中点， 所以BD AC? ． 在△BCD中，BD CD? ， 2BC ? ， 1CD ? ，所以 3BD ? ． 因为 ,D E 分别为边 ,AC AB的中点，所以 / /ED BC． 在图2 中，有 1 2 DH ED HB BC ? ? ，所以 1 3 3 3 DH BD? ? ． 因为 AB AD? ，所以△ ABD为直角三角形． 因为 1AD ? ， 3BD ? ，所以 3 cos 3 AD ADB BD ? ? ? ． 在△ ADH 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAH AD DH AD DH ADB? ? ? ? ? ? 1 3 3 2 1 2 1 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ， 所以 6 3 AH ? ． 理科数学试题 A 第 4 页 共 15 页 在△ ADH 中，因为 2 2 22 1 1 3 3 AH DH AD? ? ? ? ? ， 所以 AH BD? ． 同理可证 AH CE? ． 因为 ... ...