【备考2020】高考一轮复习 05二次函数与幂函数 学案

中小学教育资源及组卷应用平台 一轮复习05二次函数与幂函数 一、二次函数 1．二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数. 2．表示形式 (1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)=a(x?h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标. (3)两根式：f(x)=a(x?x1)(x?x2)(a≠0)，其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 3．二次函数的图象与性质 函数解析式 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称性 函数图象关于直线对称 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是减函数； 在上是增函数. 在上是增函数； 在上是减函数. 最值 当时， 当时， 4．常用结论 (1)函数f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2＋bx＋c=0的实根. (2)若x1，x2为f(x)=0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1?x2|=. (3)当且()时，恒有f(x)>0()；当且()时，恒有f(x)<0(). 二、幂函数 1．幂函数的概念 一般地，形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x为自变量，α为常数. 2．几个常见幂函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 过定点 过定点 过定点 3．常用结论 (1)幂函数在上都有定义. (2)幂函数的图象均过定点. (3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增. (4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减. (5)幂函数在第四象限无图象. 考向一 幂函数的图象与性质 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1) 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增 递减 举例 y=x2 、 2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 典例1 如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为 A． B． C． D． 【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为． 故选B． 对点训练 1．已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数 A． B．2 C．3 D．2或 典例2 设，则的大小关系是 A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 【解析】因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以. 对点训练 2．已知，，，则下列结论成立的是 A． B． C． D． 考向三 二次函数的图象与性质 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低，常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题，考查二次函数图象与性质的应用，以选择题、填空题的形式呈现，有时也出现在解答题中，解题时要准确运用二次函数的图象与性质，掌握数形结合的思想方法.常见类型及解题策略： 1．图象识别问题 辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除． 2．二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． 3．解决一元二次方程根的分布问题的方法 常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符 ... ...