24.四点共圆 知识要点及方法技巧 证明四点共圆常用的方法有：同斜边的直角三角形的顶点共圆；四点到同一点距离相等；同底且同侧顶角相等的两个三角形的顶点共园；对角互补或有一个外角等于其内对角的四边形的顶点共圆；两线段被一点分成两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆（相交弦定理、割线定理的逆定理）；对边乘积之和等于对角线积的四边形的四个顶点共圆（托勒密定理的逆定理）. 训练题 一、选择题（每小题7分，本题满分42分） 1.如图24－1，O为△ABC内一点，BO、CO分别交AC、AB于D、E.如果BE·BA＋CD·CA＝BC2，且∠ADB＝60°，则∠AEC＝（ ）. A.30° B.90° C.120° D.150° 2.如图24－2，如果凸五边形ABCDE中，∠ABC＝∠ADE，且∠AEC＝∠ADB，则下列与∠BAC相等的角为（ ）. A.∠DAE B.∠CAD C.∠CBD D.∠CDB 3.如图24－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K、M分别是腰AD、CB上的点，∠DAM＝∠CBK.则图中四点共圆的点有.（ ）. A.1组 B.2组 C.3组 D.0组 4.如图24－4，圆心为C，直径为MN的半圆上有不同的两点A和B，P点落在CN上，且∠CAP＝∠CBP＝10°，若＝40°，则等于（ ）. A.10° B.15° C.20° D.25° 5.如图24－5，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AC＝AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC交AH于P，若AB＝，AP＝1，则BD＝（ ） A. B.2 C.3 D. 6.已知△ABC的内心为I，直线AI交BC于Q，直线BI交AC于P，过P、Q、C的圆也过内心I，且PQ＝1，则PI＝（ ）. A.1 B. C. D. 二、填空题（每小题7分，本题满分28分） 7.如图24－6，△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于T，∠B、∠C的外角平分线相交于P.若∠A＝72°，则∠P＝_____. 8.如图24－7，P是△ABC的外接圆上一点，由P向各边BC，CA，AB引垂线PD，PE，PF，则∠FDE＝_____. 9.如图24－8，A、B、C、D四点在同一圆周上，且BC＝DC＝4，AE＝6，线段BE和DE的长都是正整数，则BD的长等于_____. 10.如图24－9，OQ⊥AB，O为圆心.F为直线OQ与AB的交点，BC与OQ交于P点，A、C、Q三点共线，若OP＝1，PQ＝3.则OA＝_____. 三、解答题（第11题20分，第12、13题每题25分） 11.从圆心O向圆外直线l作垂线OA，垂足为A，从A作割线截圆于B、C，过B、C二切线交l于D、E.求证：DA＝AE. 12.已知：△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB三边上的任意点.求证；过A、F、E的圆，过B、D、F的圆，过C、D、E的圆共点. 13.在△ABC中，AB＝AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP＝BQ，设△ABC的外心为O.求证：O、A、P、Q四点共圆.
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
