中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高二下春季班第十七讲 课题 二项式定理 单元 第章 学科 数学 年级 十一 学习 目标 会用计数原理证明二项式定理；掌握二项展开式系数的性质及计算的问题； 熟悉二项展开式通项公式，会区分项的系数与项的二项式系数，能够灵活地求二项式的指数、求满足条件的项或系数； 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题以及用它们讨论整除、近似计算等相关问题及证明恒等式． 重点 1．二项式定理以及二项式定理和二项展开式的性质的常见应用； 2．二项式中计算相关问题及证明问题． 难点 1．二项式定理以及二项式定理和二项展开式的性质的常见应用； 2．二项式中计算相关问题及证明问题． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、二项式定理： 公式，叫做二项式定理。其中 叫做二项式系数；公式右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，它表示第项；二项式系数与数字系数的积叫做项的系数。 二项展开式的特性如下： （1）系数规律：； （2）项数规律：二项和的次幂的展开式共有个项. （3）指数规律：各项的次数均为；二项展开式中的次数由降到0，的次数由0升到，与指数之和为. （4）求常数项、项的系数或者有理项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 . 2、二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 3、二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．其中可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即）．直线（为偶数）是图象的对称轴． （2）增减性与最大值： （中间一项或两项最大）,若为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大. （3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来． （4）各二项式系数和： 奇数项（偶数项）二项式系数和：. 4、二项展开式的系数的性质： （1） （2） （3） （4） （5） 二项式定理中的常用思想方法： （1）证明组合恒等式常用赋值法。 （2）求二项展开式的项（指定项，具有某种性质的项）一般用二项展开式的通项公式，通常是先根据已知条件求，再求，有时需先求，再求，才能求出。 （3）研究二项展开式的系数和、二项式系数和的问题，常通过赋值的方法整体处理，特别要注意区分二项展开式的系数和与二项展开式的二项式系数和的差别。 （4）二项式定理作为“母体”，可以生成很多的组合恒等式，在进行组合数和式研究时要注意其与二项式定理的关系，能正向、逆向地运用二项式定理。关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”———构造函数或构造同一问题的两种算法。 （5）有些三项式展开式的问题，可以通过变形转化成二项式问题，这种转化体现了数学化归的思想方法，要掌握化归的基本技能。 （6）近似计算要首先观察精确度，然后选取若干项逼近近似计算的要求。用二项式定理证明整除性问题或余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”（蕴含目标意识）、“消除法”（配合整除的有关知识）来解决，还有不等式证明中目标导向与“放缩法”，这些问题的解法中体现的数学思想很重要，并且有一般的思维价值。 一、求展开式中的项（指定项、常数项，有理项，系数最大项，赋值求某些项系数和与差等） 1、求展开式中的指定项 【例1】（1）展开式中的第 ... ...
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