(
课件网) 2.基本不等式 学习目标 思维脉络 1.了解两个正数的几何平均与算术平均. 2.会用基本不等式解决一些函数的最值及实际应用问题. 知识清单 预习自测 1.定理1 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b 时,等号成立. 2.定理2(基本不等式) (3)基本不等式可以表述为: 两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. (4)基本不等式的几何意义. 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. 3.重要的不等式链 知识清单 预习自测 4.应用基本不等式求函数最值 已知x,y都为正数,则 (1)若x+y=s(和为定值),则当且仅当x=y时,积xy取得最大值 ; (2)若xy=p(积为定值),则当且仅当x=y时,和x+y 取得最小值2 . 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 1.logab+logba≥2成立的必要条件是( ) A.a>1,b>1 B.a>0,0
0 D.以上都不正确 解析:因为logab与logba互为倒数,符合基本不等式的结构.但两个数应是正数,所以a,b同时大于1或a,b都属于区间(0,1). 答案:C 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 2.下列结论不正确的是( ) 答案:B 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 3.下列各式中,最小值等于2的是( ) 解析:∵2x>0,2-x>0, 答案:D 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 解析:∵lg x+lg y=2, ∴lg(xy)=2.∴xy=102=100. 当且仅当x=y=10时,等号成立. 1 2 3 4 5 知识清单 预习自测 6 ∴当x=4,y=12时,(x+y)min=16. 认识基本不等式中的数a,b 剖析:在利用基本不等式时,要准确定位其中的“数”.例如,在“已知2x+y=1,x,y>0,求xy的最大值”时,“两个数”不是“x”与“y”,而是已知条件中的“2x”与“y”,这是因为定值是“2x+y=1”,而“x+y”不是定值,因 在基本不等式中,准确定位其中的“数”是使用基本不等式的前提. 再如,在“已知实数a,b,x,y满足a2+b2=1,x2+y2=3,求ax+by的最大值”时,似乎告诉我们可以利用基本不等式求最值. 但是这种解法不正确,这四个数分两组使用基本不等式,不符合 使用的条件,本题中取等号的条件是 这与a2+b2=1和x2+y2=3矛盾. 因此正确的解法应是三角换元法: 题型一 题型二 题型三 题型四 利用基本不等式证明不等式 【例1】 已知a,b,c>0,且a+b+c=1. 分析:不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘, ,可由此变形入手. 证明:∵a,b,c>0,a+b+c=1, 题型一 题型二 题型三 题型四 反思用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 利用基本不等式求函数最值 分析:由x< ,可知4x-5<0,转化为变量大于零,先调整符号,再配凑积为定值. ∴当x=1时,y取最大值为1. 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在应用基本不等式求函数最值时,分以下三步进行: (1)看式子能否出现和(或积)的定值,若不具备,需对式子变形,凑出需要的定值; (2)看所用的两项是否同正,若不满足,则通过分类解决,在同负时,可提取(-1)变为同正; (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值,若不满足,则可通过函数的单调性或导数解决. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 基本不等式的实际应用 【例3】 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟在2018年某运动会期间进行一系列促销活动,经过市场调查和测算,化妆品的年销量x(单位:万件)与年促销费t(单位:万元)之间满足3-x与t+1成反比例的关系,如果不搞促销活动,化妆品的年销量只能是1万件,已知2018年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用,若将 ... ... 
