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课件网) 本讲整合 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 不等式性质的应用 利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立,进行数值或代数式大小的比较,常用到分类讨论的思想. 【应用】 若a,b是任意实数,且a>b,则( ) 提示:为提高解题速度,特殊值法与不等式性质的运用可以交替进行. 解析:a>b并不保证a,b均为正数,从而不能保证选项A,B成立.又a>b?a-b>0,但不能保证a-b>1,从而不能保证选项C成立.显然只有 答案:D 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 基本不等式与三个正数的算术-几何平均不等式 定理1:如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 算术-几何平均不等式: 语言表述:n个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 求证:Q(x,y)≥A(x,y)≥G(x,y)≥H(x,y). 即Q(x,y)≥A(x,y). 由基本不等式,得A(x,y)≥G(x,y). 即G(x,y)≥H(x,y). 综上所述,Q(x,y)≥A(x,y)≥G(x,y)≥H(x,y). 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 利用基本不等式或三个正数的算术-几何平均不等式求最大(小)值 重要的结论: 已知x,y都是正实数,则: 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 【应用1】 求函数y=2x2+ (x>0)的最小值.下列解法是否正确?为什么? 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 解:题目中两种解法均有错误.解法一错在等号不成立, 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 【应用2】 设计一幅宣传画,要求画面面积为4 840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白,左、右各留5 cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小? 提示:在应用平均不等式解决这类实际问题时,应注意:①设变量,一般把要求最大值和最小值的变量设为函数;②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题;③在定义域内,求函数的最大值或最小值. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 故当画面的高为88 cm,宽为55 cm时,才能使所用纸张面积最小. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 含有绝对值的不等式的解法 关于含有绝对值的不等式的问题,主要包括两类:一类是解不等式,另一类是证明不等式. 1.解在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式),关键在于去掉绝对值符号,化成一般的不等式.主要的依据是绝对值的定义. 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值, 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 2.含有绝对值的不等式有两种基本的类型. 第一种类型:设a为正数.根据绝对值的定义,不等式|x|
a的解集是{x|x>a或x<-a}. 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间(-∞,-a),(a,+∞)的并集.如图所示. 同样,如果给定的不等式符合这种类型,就可以直接利用它的结果来解. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 【应用1】 设有关于x的不等式lg(|x+3|+|x-7|)>a. (1)当a=1时,解此不等式; (2)当a为何值时,此不等式的解集是R? 解:(1)当a=1时,lg(|x+3|+|x-7|)>1, ?|x+3|+|x-7|>10 ?x>7或x<-3. 所以原不等式的解集为{x|x<-3或x>7}. (2)设f(x)=|x+3|+|x-7|,有f(x)≥|(x+3)-(x-7)|=10, 当且仅当(x+3)(x-7)≤0,即-3≤x≤7时,f(x)取得最小值10. 故lg(|x+3|+|x-7|)≥1. 要使lg(|x+3|+|x-7|)>a的解集为R,只要a<1. 专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 【应用2】 设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范 ... ... 
